Question

如圖1所示，已知在△ABD和△AEC中，AC=AD，∠CAD=∠BAE，AB=AE
（1）如圖1，試說明：△ABD≌△AEC；
（2）如圖1，若∠CAD=35°，∠E=56°，∠D=40°，
①試求：∠EOB的度數；
②將△AEC繞點A逆時針旋轉α度（0°＜α＜180°），問當α為多少度時，直線CE分別與△ABD的三邊所在的直線垂直？（請直接寫出答案）．
（3）如圖2將△AEC繞點A順時針旋轉后得到△ABD，并使點D，E，A三點在同一條直線上，若AD=2AB，連接CD，若△CDE的面積為6cm²，你能求出四邊形ABDC的面積嗎？若能，請求出來；若不能，請你說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先證明∠CAE=∠DAB，再加上條件AC=AD，AB=AE可利用SAS定理證明△ABD≌△AEC；
（2）①計算出∠BAE和∠B的度數，再利用三角形的外角與內角的關系可得∠EOB的度數；
②要分三種情況進行討論C′E′⊥AD時；CE′⊥BD時；C′E′⊥AB時；
（3）首先證明點E為AD中點，再根據△CDE的面積為6cm²，可得△CAE的面積也為6cm²，△ABD的面積為6cm²，可得四邊形ABDC的面積．

解答：（1）證明：∵∠CAD=∠BAE，
∴∠CAD+∠DAE=∠BAE+∠DAE，
即∠CAE=∠DAB，
在△ABD和△AEC中

CA=DA ∠CAE=∠DAB AB=AE

，
∴△ABD≌△AEC（SAS）；

（2）解：①由（1）知△ABD≌△AEC，
∴∠B=∠E=56°，
∵∠CAD=35°，
∴∠BAE=∠CAD=35°，
∴∠EOB=∠BAE+∠B=35°+56°=91°；

②當C′E′⊥AD時，如圖3，
∵∠D=40°，∠B=56°，
∴∠DAB=180°-40°-56°=84°，
∵∠E=56°，
∴∠DAE′=180°-56°-90°=34°，
∴∠E′AB=84°-34°=50°，
∴α=∠E′AE=50°-35°=15°；
當CE′⊥BD時，如圖4，延長C′E′交DB于點F，
則∠E′FB=90°，
∵∠E′=∠E=56°，
∴∠FE′A=124°，
∵∠B=56°，
∴∠E′AB=360°-90°-124°-56°=90°，
∴α=∠E′AB-∠EAB=90°-35°=55°；
α=55°，
當C′E′⊥AB時，如圖5，
∵∠E′=∠E=56°，
∴∠E′AF=180°-90°-56°=34°，
∵∠EAB=35°，
∴∠EAE′=α=180°-34°-35°=111°；

（3）解：能求出四邊形ABDC的面積．
∵△ABD是由△AEC繞點A逆時針旋轉而得，
∴△ABD≌△AEC，
∴AB=AE，
∵AD=2AB，
∴AD=2AE，即點E為AD中點．
∵△CDE的面積為6cm²，
∴△CAE的面積也為6cm²，△ABD的面積為6cm²，
∴四邊形ABDC的面積為18cm²．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質以及圖形的旋轉，判定兩三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，需要熟練掌握．