Question

在平面直角坐標系xOy中，關于y軸對稱的拋物線y=-x²+（m-2）x+4m-7與x軸交于A、B 兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，P是這條拋物線上的一點（點P不在坐標軸上），且點P關于直線BC的對稱點在x軸上，D（0，3）是y軸上的一點．
（1）求拋物線的解析式及點P的坐標；
（2）若E、F是 y 軸負半軸上的兩個動點（點E在點F的上面），且EF=2，當四邊形PBEF的周長最小時，求點E、F的坐標；
（3）若Q是線段AC上一點，且S_△COQ=2S_△AOQ，M是直線DQ上的一個動點，在x軸上方的平面內存在一點N，使得以 O、D、M、N為頂點的四邊形是菱形，請你直接寫出點N的坐標

Answer 1

【答案】分析：（1）本題需先根據已知條件求出拋物線的解析式，再根據A、B兩點求出∠OBC的度數和∠OBD的度數，再證出直線BD與x軸關于直線BC對稱，再設直線BD的解析式為y=kx+b，再把各點代入，最后求出結果即可．
（2）本題可先過點P作PG⊥x軸于G，在PG上截取PH=2，證出四邊形PHEF為平行四邊形得出HE=PF，再根據已有的條件證出Rt△AOE∽Rt△AGH，最后即可求出點E、F的坐標．
（3）本題根據已有的條件，再結合圖形，可以直接寫出點N的坐標．
解答：解：（1）∵拋物線+（m-2）x+4m-7關于y軸對稱，
∴m-2=0．
∴m=2．
∴拋物線的解析式是y=-+1
令y=0，得x=
∴A（-，0），B（，0）
在Rt△BOC中，OC=1，OB=，可得∠OBC=30°．
在Rt△BOD中，OD=3，OB=，可得∠OBD=60°．
∴BC是∠OBD的角平分線．
∴直線BD與x軸關于直線BC對稱．
因為點P關于直線BC的對稱點在x軸上，
則符合條件的點P就是直線BD與拋物線y=-+1的交點．
設直線BD的解析式為y=kx+b．
∴，
∴，
∴直線BD的解析式為
∵點P在直線BD上，設P點坐標為
又因為點P在拋物線y=-+1上，
∴=-+1
∴．
∴y₁=0，y₂=-3
∴點P的坐標是．

（2）過點P作PG⊥x軸于G，在PG上截取PH=2，連接AH與y軸交于點E，在y軸的負半軸上截取EF=2．

∵PH∥EF，PH=EF，
∴四邊形PHEF為平行四邊形，有HE=PF．
又∵PB、EF的長為定值，
∴此時得到的點E、F使四邊形PBEF的周長最小．
∵OE∥GH，
∴Rt△AOE∽Rt△AGH．
∴．
∴OE==．
∴OF=OE+EF=+2=．
∴點E的坐標為（0，-），點F的坐標為（0，-）．

（3）點N的坐標是）或）或，．
點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點的求法等知識點．主要考查學生數形結合的數學思想方法．