Question

【題目】如圖，CN是等邊△ABC的外角∠ACM內部的一條射線，點A關于CN的對稱點為D，連接AD，BD，CD，其中AD，BD分別交射線CN于點E，P.

(Ⅰ)依題意補全圖形.

(Ⅱ)若∠ACN＝α，求∠BDC的大小(用含α的式子表示).

(Ⅲ)若PA＝x，PC＝y，求PB的長度(用x，y的代數式表示).

Answer 1

【答案】(Ⅰ)補圖見解析；(Ⅱ)∠BDC＝60°﹣α；(Ⅲ)PB= x+y.

【解析】

(Ⅰ)根據題意畫圖即可；

(Ⅱ)根據對稱得：CN是AD的垂直平分線，則CA＝CD，然后根據等腰三角形的性質和等邊三角形的性質可得結論；

(Ⅲ)作輔助線，在PB上截取PF使PF＝PC，連接CF，PA.先證明△CPF是等邊三角形，再證明△BFC≌△APC，則BF＝PA，由此即可解決問題.

解：(Ⅰ)如圖，

(Ⅱ) ∵點A與點D關于CN對稱，

∴CN是AD的垂直平分線，

∴CA＝CD，∠DCN=∠ACN＝α,

∴∠ACD＝2∠ACN＝2α.

∵等邊△ABC，

∴CA＝CB，

∴CD＝CB，

∴∠BDC＝∠DBC.

∵∠ACB＝60°.

∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝60°+2α.

∴∠BDC＝∠DBC＝(180°﹣∠BCD)＝60°﹣α.

(Ⅲ)在PB上截取PF使PF＝PC，連接CF，PA

設∠ACN＝α，

∵CA＝CD，∠ACD＝2α，

∴∠CDA＝∠CAD＝90°﹣α.

∵∠BDC＝60°﹣α，

∴∠PDE＝∠CDA﹣∠BDC＝30°，

∵∠CPF＝∠DPE＝90°﹣∠PDE＝60°.

∴△CPF是等邊三角形.

∴CF＝CP，∠PCF＝60°，

∵∠PCF＝∠ACB，

∴∠BCF＝∠ACP，

∵CB＝CA，CF＝CP，

∴△BFC≌△APC(SAS)，

∴BF＝PA，

∴PB＝PF+BF＝PA+PC＝x+y.