Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點G，過點G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點G作GD⊥AC于D，下列四個結論：

①EF＝BE+CF；②∠BGC＝90°+∠A；③點G到△ABC各邊的距離相等；④設GD＝m，AE+AF＝n，則S△AEF＝mn．其中正確的結論有（　　）

A.①②④B.①③④C.①②③D.①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據平行線的性質和角平分線的定義可得∠EBG＝∠EGB，∠FCG＝∠CGF，再根據等角對等邊即得BE＝EG，GF＝CF，進而可對①進行判斷；

根據角平分線的定義和三角形的內角和即可對②進行判斷；

過點G作GM⊥AB于點M，作GH⊥BC于點H，如圖1，根據角平分線的性質即可對③進行判斷；

連接AG，如圖2，則△AEF的面積=△AEG的面積+△AFG的面積，再根據題意和③的結論即可對④進行判斷.

解：①∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點G，

∴∠EBG＝∠CBG，∠BCG＝∠FCG．

∵EF∥BC，

∴∠CBG＝∠EGB，∠BCG＝∠CGF，

∴∠EBG＝∠EGB，∠FCG＝∠CGF，

∴BE＝EG，GF＝CF，

∴EF＝EG+GF＝BE+CF，故本小題正確；

②∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點G，

∴∠GBC+∠GCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），

∴∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，故本小題正確；

③過點G作GM⊥AB于點M，作GH⊥BC于點H，如圖1，

∵GB和GC是∠ABC和∠ACB的平分線，

∴GM=GH，GD=GH，

∴GM=GH=GD，

即點G到△ABC各邊的距離相等，故本小題正確；

④連接AG，如圖2，∵GD＝m，AE+AF＝n，則由③知：GM=GD=m，

∴S△AEF＝AEGM+AFGD＝（AE+AF）m＝nm，故本小題正確．

故選：D．