Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，P為BC的中點．動點Q從點P出發，沿射線PC方向以2cm/s的速度運動，以P為圓心，PQ長為半徑作圓．設點Q運動的時間為t s．   
 (1)當t=1.2時，判斷直線AB與⊙P的位置關系，并說明理由；
 (2)已知圓O為△ABC的外接圓，若OP與圓O相切，求t的值．

Answer 1

解：(l)直線AB與圓P相切，

如圖，過點P作PD⊥AB，垂足為D.    
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵AC=6 cm，BC=8 cm,    
∴AB= ( cm)．
∴P為BC的中點，
∴PB=4 cm.    
∵∠PDB=∠ACB= 90°，∠PBD=∠ABC．
∴△PBD∽△ABC.    
，
∴PD =2. 4(cm)．   
 當t=1.2時．PQ=2t=2.4(cm)  
∴PD= PQ，即圓心P到直線AB的距離等于圓P的半徑．    
∴直線AB與圓P相切．
(2) ∠ACB=90°，
∴AB為△ABC的外切圓的直徑．
∴OB=AB=5(cm)．    
連接OP，
∵P為BC的中點，
∴OP=AC=3cm    
∴點P在圓O內部，
∴圓P與圓O只能內切．   
 ∴5- 2t=3或2t-5=3，
∴t=1或4．    
∴圓P與圓O相切時，t的值為1或4．