Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，延長BC至點D，使DC＝CB，延長DA與⊙O的另一個交點為E，連接AC，CE．

（1）求證：∠B＝∠D；

（2）若AB＝4，BC﹣AC＝2，求CE的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）.

【解析】

（1）由AB為⊙O的直徑，證得AC⊥BC，又由DC=CB，根據線段垂直平分線的性質，可證得AD=AB，即可得：∠B=∠D；
（2）首先設BC=x，則AC=x-2，由在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，可得方程：（x-2）2+x2=42，解此方程即可求得CB的長，繼而求得CE的長．

（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴AC⊥BC，

又∵DC＝CB，

∴AD＝AB，

∴∠B＝∠D；

（2）解：設BC＝x，則AC＝x﹣2，

在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，

∴（x﹣2）2+x2＝42，

解得：x1＝1+，x2＝1﹣（舍去），

∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，

∴∠D＝∠E，

∴CD＝CE，

∵CD＝CB，

∴CE＝CB＝1+．