Question

【題目】如圖，AB是⊙的直徑，過點A作⊙的切線并在其上取一點C，連接OC交⊙于點D，BD的延長線交AC于E，連接AD.

（1）求證：；

（2）若AB=2，，求AE的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

(1)由AB是⊙O的直徑，AC為⊙切線得到∠ADB=∠BAE=90°，進而可知 ∠DAE+∠BAD=∠CDE+∠ODA=，由OA=OD可知∠OAD=∠ODA，進而可知∠BAE=∠CDE，∠C為公共角，即可證明△CDE∽△CAD，（2）根據勾股定理可求出OC的長，進而求出DC的長，通過△CDE∽△CAD即可求出AE的長.

（1）∵AB為直徑，AC為⊙切線，

∴∠ADB=∠BAE=，

∴∠DAE+∠BAD=∠CDE+∠ODA=，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠BAE=∠CDE，

∵∠C為公共角，

∴△CDE∽△CAD，

（2）∵AB=2，

∴AO=OD=1，

∵AC=,∠BAC=Rt∠，

∴，

∴DC=OC-OD=2，

∵△CDE∽△CAD，

∴，

∴，

∴.