Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D．以AB上某一點(diǎn)O為圓心作⊙O，使⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)D．

（1）判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若AC=3，∠B=30°．
①求⊙O的半徑；
②設(shè)⊙O與AB邊的另一個(gè)交點(diǎn)為E，求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的陰影部分的圖形面積．（結(jié)果保留根號(hào)和π）

Answer 1

【答案】
（1）解：直線BC與⊙O相切；

連結(jié)OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵∠BAC的角平分線AD交BC邊于D，

∴∠CAD=∠OAD，

∴∠CAD=∠ODA，

∴OD∥AC，

∴∠ODB=∠C=90°，

即OD⊥BC．

又∵直線BC過(guò)半徑OD的外端，

∴直線BC與⊙O相切

（2）解：①設(shè)OA=OD=r，在Rt△BDO中，∠B=30°，

∴OB=2r，

在Rt△ACB中，∠B=30°，

∴AB=2AC=6，

∴3r=6，解得r=2．

②在Rt△ACB中，∠B=30°，

∴∠BOD=60°．

∴ ．

∵∠B=30°，OD⊥BC，

∴OB=2OD，

∴AB=3OD，

∵AB=2AC=6，

∴OD=2，BD=2

S△BOD= ×ODBD=2 ，

∴所求圖形面積為 ．

【解析】（1）連接OD，首先依據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義可得到∠CAD=∠ODA，從而可證明OD∥AC，然后依據(jù)平行線的性質(zhì)可證明OD⊥BC，最后，再根據(jù)切線的判定定理進(jìn)行證明即可；
（2）①根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得到OB=2OD=2r，AB=2AC=3r，從而求得半徑r的值；②由S陰影=S△BOD-S扇形DOE求解即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了切線的判定定理和扇形面積計(jì)算公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）才能正確解答此題．