Question

【題目】如圖1，BC是⊙O的直徑，點A在⊙O上，點D在CA的延長線上，DE⊥BC，垂足為點E，DE與⊙O相交于點H，與AB相交于點l，過點A作⊙O的切線AF，與DE相交于點F．

（1）求證：∠DAF=∠ABO；

（2）當AB=AD時，求證：BC=2AF；

（3）如圖2，在（2）的條件下，延長FA，BC相交于點G，若tan∠DAF=，EH=2，求線段CG的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）

【解析】

試題分析：（1）連接AO，如圖1，由OA=OB可得∠OAB=∠OBA，要證∠DAF=∠ABO，只需證∠DAF=∠BAO，只需證∠FAO=∠DAB=90°即可；

（2）由于BC=2OA，要證BC=2AF，只需證OA=AF，只需證△AFD≌△AOB即可；

（3）過點A作AN⊥BC于N，連接OH，OA，如圖2，易得BE=2IE，DE=2EC，DI=2AF=BC，從而可得EC=3IE=BE．設BE=2x，則有EC=3x，BC=5x，HO=BO=，EO=．在Rt△HEO中運用勾股定理可求出x．利用三角函數可得BN=2AN=4NC，則有BC=5NC=10，從而可求出NC、ON，易證△AON∽△GOA，根據相似三角形的性質可求出OG，從而可求出CG．

試題解析：（1）連接AO，如圖1．

∵AF與⊙O相切于點A，

∴OA⊥AF，即∠FAO=90°．

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BAC=90°，

∴∠DAB=90°，

∴∠FAO=∠DAB=90°，

∴∠DAF=∠BAO．

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∴∠DAF=∠ABO；

（2）∵DE⊥BC，∴∠DEB=90°，

∴∠DIB=90°+∠ABO．

∵∠DIB=90°+∠D，

∴∠D=∠ABO．

在△AFD和△AOB中，

，

∴△AFD≌△AOB，

∴AF=AO，

∴BC=2OA=2AF；

（3）過點A作AN⊥BC于N，連接OH，OA，如圖2．

∵∠D=∠B=∠BAO=∠DAF，tan∠DAF=，

∴tanB=，tanD=，

∴BE=2IE，DE=2EC．

又∵∠DIA+∠D=∠DAF+∠FAI=90°，

∴∠FIA=∠FAI，

∴FI=FA，

∴DI=2AF=BC，

∴DE﹣IE=BE+EC，

∴2EC﹣IE=2IE+EC，

∴EC=3IE=BE．

設BE=2x，則有EC=3x，BC=5x，HO=BO=，EO=．

在Rt△HEO中，根據勾股定理可得

（）2+（2）2=（）2，

解得x=2（舍負）．

∵AN⊥BC，∠BAC=90°，

∴∠NAC=∠ABC，

∴tan∠NAC=，tan∠ABC=，

∴BN=2AN=4NC，

∴BC=5NC=10，

∴NC=2，ON=5﹣2=3．

∵∠AON=∠GOA，∠ANO=∠OAG=90°，

∴△AON∽△GOA，

∴，

∴，

∴OG=，

∴CG=OG﹣OC=．