Question

【題目】已知兩個等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共頂點C，∠ABC﹣∠CEF=90°，連接AF，M是AF的中點

（1）如圖1，當CB與CE在同一直線上時，連接CM，若CB=1，CE=2，求CM的長．

（2）如圖2，連接MB，ME，當∠BCE=45°時，求證：BM=ME．

Answer 1

【答案】（1）．（2）證明見解析.

【解析】

(1)首先利用勾股定理得出AF的長，再利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半來解答即可;(2) 連接BE、DE，先由△ABM≌△FDM，得出AB=DF，BM=DM，進而得出AB=BC=DF，再經過證明△BCE≌△DFE，得出△BDE是等腰直角三角形即可求解.

（1）解：∵△ABC是等腰三角形，CB=1，
∴∠ACB=45°，AC=，

∵△CEF是等腰直角三角形，CE=2
∴∠ECF=45°，CF=2，
∴∠ACF=∠ACB+∠ECF=45°+45°=90°，
∴AF2=AC2+CF2=10，
∵M是AF的中點，
∴CM=AF=．
（2）證明：由此BM交CF于D，連接BE、DE．
∵∠BCE=45°，
∴∠ACD=45°×2+45°=135°，
∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，
∴AB∥CF，
∴∠BAM=∠DFM，
∵M是AF的中點，
∴AM=FM，
在△ABM和△FDM中，
，

∴△ABM≌△FDM（ASA），
∴AB=DF，BM=DM，
∴AB=BC=DF，
在△BCE和△DFE中，
，

∴△BCE≌△DFE（SAS），
∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，
∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∵BM=MD，
∴BM=ME=BD，
∴BM=ME．