Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=∠ADC，DE垂直于對角線AC，垂足是E，連接BE．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）若AB=BE=2，sin∠ACD= ，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠DCB=180°，

∵∠ABC=∠ADC，

∴∠ADC+∠BCD=180°，

∴AD∥BC，

∵AB∥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形

（2）解：∵sin∠ACD= ，

∴∠ACD=60°，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，CD=AB=2，

∴∠BAC=∠ACD=60°，

∵AB=BE=2，

∴△ABE是等邊三角形，

∴AE=AB=2，

∵DE⊥AC，

∴∠CDE=90°﹣60°=30°，

∴CE= CD=1，

∴DE= CE= ，AC=AE+CE=3，

∴平行四邊形ABCD的面積=2△ACD的面積=ACDE=3

【解析】（1）根據平行四邊形的性質得出∠ABC+∠DCB=180°，推出∠ADC+∠BCD=180°，根據平行線的判定得出AD∥BC，根據平行四邊形的判定推出即可；（2）證明△ABE是等邊三角形，得出AE=AB=2，由直角三角形的性質求出CE和DE，得出AC的長，即可求出四邊形ABCD的面積．
【考點精析】利用平行四邊形的判定與性質和解直角三角形對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)．