Question

【題目】已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經過A（－4，3）、B（2，0）兩點，當x=3和x=－3時，這條拋物線上對應點的縱坐標相等．經過點C（0，－2）的直線l與 x軸平行，O為坐標原點．

（1）求直線AB和這條拋物線的解析式；

（2）以A為圓心，AO為半徑的圓記為⊙A，判斷直線l與⊙A的位置關系，并說明理由；

（3）設直線AB上的點D的橫坐標為－1，P（m，n）是拋物線y＝ax2＋bx＋c上的動點，當△PDO的周長最小時，求四邊形CODP的面積．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2-1.

（2）直線l與⊙A相切

（3）

【解析】（1）因為當x=3和x=－3時，這條拋物線上對應點的縱坐標相等，故b=0.

設直線AB的解析式為y=kx+b，把A（－4，3）、B（2，0）代入到y＝ax2＋bx＋c，得

解得

∴這條拋物線的解析式為y＝x2-1.

設直線AB的解析式為y=kx+b，把A（－4，3）、B（2，0）代入到y=kx+b，得

解得

∴這條直線的解析式為y＝-x+1.

（2）依題意，OA=即⊙A的半徑為5.

而圓心到直線l的距離為3+2=5.

即圓心到直線l的距離=⊙A的半徑，

∴直線l與⊙A相切.

（3）由題意，把x=-1代入y=-x+1，得y=，即D（-1， ）.

由（2）中點A到原點距離跟到直線y=-2的距離相等，且當點A成為拋物線上一個動點時，仍然具有這樣的性質，于是過點D作DH⊥直線l于H，交拋物線于點P，此時易得DH是D點到l最短距離，點P坐標（-1，-）此時四邊形PDOC為梯形，面積為.