Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2－2ax－3a（a＞0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），經過點A的直線l：y＝kx＋b與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD＝4AC．

（1）求點A的坐標及直線l的函數表達式（其中k，b用含a的式子表示）；

（2）點E為直線l下方拋物線上一點，當△ADE的面積的最大值為時，求拋物線的函數表達式．

Answer 1

【答案】（1）A（－1，0），y＝ax＋a；（2）y＝x2－x－．

【解析】分析：（1）由拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）與x軸交于兩點A、B，求得A點的坐標，作DF⊥x軸于F，根據平行線分線段成比例定理求得D的坐標，然后利用待定系數法法即可求得直線l的函數表達式．

（2）設點E（m，ax2﹣2ax﹣3a），知HE=（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）=﹣ax2+3ax+4a，根據直線和拋物線解析式求得點D的橫坐標，由S△ADE=S△AEH+S△DEH列出函數解析式，根據最值確定a的值即可．

詳解：（1）令y=0，則ax2﹣2ax﹣3a=0，解得：x1=﹣1，x2=3．

∵點A在點B的左側，∴A（﹣1，0），如圖1，作DF⊥x軸于F，

∴DF∥OC，∴=．

∵CD=4AC，∴==4．

∵OA=1，∴OF=4，∴D點的橫坐標為4，代入y=ax2﹣2ax﹣3a得：y=5a，∴D（4，5a），把A、D坐標代入y=kx+b得，解得： ，∴直線l的函數表達式為y=ax+a．

（2）如圖2，過點E作EH∥y軸，交直線l于點H，

設E（x，ax2﹣2ax﹣3a），則H（x，ax+a），∴HE=（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）=﹣ax2+3ax+4a，由，得x=﹣1或x=4，即點D的橫坐標為4，∴S△ADE=S△AEH+S△DEH=（﹣ax2+3ax+4a）=﹣a（x﹣）2+a，∴△ADE的面積的最大值為a，∴a=，解得：a=，∴拋物線的函數表達式為y=x2﹣x﹣．