Question

已知拋物線y=-x²+bx+c的圖象經過點A（m，0）、B（0，n），其中m、n是方程x²-6x+5=0的兩個實數根，且m＜n．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D，求C、D點的坐標和△BCD的面積；
（3）P是線段OC上一點，過點P作PH⊥x軸，交拋物線于點H，若直線BC把△PCH分成面積相等的兩部分，求P點的坐標．

Answer 1

解：（1）解方程x²-6x+5=0，
得x₁=5，x₂=1，
由m＜n，知m=1，n=5，
∴A（1，0），B（0，5），
∴
即；
所求拋物線的解析式為y=-x²-4x+5．

（2）由-x²-4x+5=0，
得x₁=-5，x₂=1，
故C的坐標為（-5，0），
由頂點坐標公式，得D（-2，9）；
過D作DE⊥x軸于E，易得E（-2，0），
∴S_△BCD=S_△CDE+S_梯形OBDE-S_△OBC==15．
（注：延長DB交x軸于F，由S_△BCD=S_△CFD-S_△CFB也可求得）

（3）設P（a，0），則H（a，-a²-4a+5）；
直線BC把△PCH分成面積相等的兩部分，須且只須BC等分線段PH，亦即PH的中點，
（）在直線BC上，
易得直線BC方程為：y=x+5；
∴．
解之得a₁=-1，a₂=-5（舍去），
故所求P點坐標為（-1，0）．
分析：（1）通過解方程可求出m、n的值，也就求出了點A、B的坐標，將它們代入拋物線的解析式中，通過聯立方程組即可求得待定系數的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）拋物線的解析式中，令y=0可求得C點坐標，利用公式法可求出拋物線頂點D的坐標；由于△BCD的面積無法直接求得，可過D作x軸的垂線，設垂足為E，分別求出△CDE、梯形DEOB、△BCO的面積，那么△CDE、梯形DEOB的面積和減去△BCO的面積，即可得到△BCD的面積．
（3）若直線BC平分△PCH的面積，那么直線BC必過PH的中點，因為只有這樣平分所得的兩個三角形才等底等高，可設出點P的坐標，根據拋物線的解析式可表示出點H的坐標，進而可求得PH中點的坐標，由于PH中點在直線BC上，可將其代入直線BC的解析式中，由此求出點P的坐標．
點評：此題考查了一元二次方程的解法、二次函數解析式的確定、圖形面積的求法、函數圖象上點的坐標意義等基礎知識，難度不大．