Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為E，F，BE=DF，AE=CF．

（1）求證：△AFD≌△CEB；

（2）若∠CBE=∠BAC，四邊形ABCD是怎樣的四邊形？證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形ABCD為矩形，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）求出AF=CE，再利用“邊角邊”證明即可；

（2）根據全等三角形對應邊相等可得AD=BC，全等三角形對應角相等可得∠BCE=∠DAF，再根據內錯角相等，兩直線平行證明AD∥BC，然后判斷出四邊形ABCD是平行四邊形，求出∠ABC=90°，最后根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形證明．

試題解析：（1）∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AFD=∠CEB=90°．

∵AE=FC，∴AE+EF=FC+EF，∴AF=CE，

又∵BE=DF，∴△AFD≌△CEB；

（2）四邊形ABCD為矩形．

∵△AFD≌△CEB，∴AD=BC，∠BCE=∠DAF．∴AD∥BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，

∵∠CBE=∠BAC，又∵∠CBE+∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ACB=90°，∴∠ABC=90°，

∴四邊形ABCD為矩形．