Question

閱讀下面材料：
小偉遇到這樣一個問題：如圖1，在正三角形ABC內有一點P，且PA="3" ，PB=4，PC=5，求∠APB的度數.
小偉是這樣思考的：如圖2，利用旋轉和全等的知識構造△，連接，得到兩個特殊的三角形，從而將問題解決．

請你回答：圖1中∠APB的度數等于　　   .
參考小偉同學思考問題的方法，解決下列問題：
（1）如圖3，在正方形ABCD內有一點P，且PA=，PB=1，PD=，則∠APB的度數等于     ，正方形的邊長為     ；
（2）如圖4，在正六邊形ABCDEF內有一點P，且PA=，PB=1，PF=，則∠APB的度數等于     ，正六邊形的邊長為     ．

Answer 1

；（1）135°，；（2）120°，

試題分析：根據旋轉的性質結合勾股定理的逆定理，等邊三角形的判定和性質即可得到結果；
（1）參照題目給出的解題思路，可將△ABP繞點A逆時針旋轉90°，得到△A DP′，根據旋轉的性質知：△ABP≌△A DP′，進而可判斷出△APP′是等腰直角三角形，可得∠A P′P=45°；然后得到△DPP′是直角三角形，即可求得結果；
（2）方法同（2），再結合正六邊形的性質即可求得結果．
由題意得△APP′是等邊三角形，則∠A P′C=60°
∵
∴△CPP′是直角三角形
∴∠CP′P=90°
∴∠AP′C=150°
∴∠APB=150°；
（1）將△ABP繞點A逆時針旋轉90°，得到△A DP′，
由題得△ABP≌△A DP′，△APP′是等腰直角三角形，
∴∠AP′P=45°
∵
∴△DPP′是直角三角形，
∴∠DP′P=90°
∴∠DP′A=135°
∴∠APB=135°，正方形的邊長為；
（2）方法同（2），∠APB的度數等于120°，正六邊形的邊長為
點評：解答本題的關鍵是熟練掌握旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．