Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC=∠BCD．

（1）求證：∠1+∠2=90°；
（2）若∠ABD的平分線與CD的延長線交于F，且∠F=55°，求∠ABC；

（3）若H是BC上一動點，F是BA延長線上一點，FH交BD于M，FG平分∠BFH，交DE于N，交BC于G．當H在BC上運動時（不與B點重合）， 的值是否變化？如果變化，說明理由；如果不變，試求出其值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：AD∥BC，

∠ADC+∠BCD=180，

∵DE平分∠ADB，

∠BDC=∠BCD，

∴∠ADE=∠EDB，

∠BDC=∠BCD，

∵∠ADC+∠BCD=180°，

∴∠EDB+∠BDC=90°，

∠1+∠2=90°

（2）

解：∠FBD+∠BDE=90°﹣∠F=35°，

∵DE平分∠ADB，BF平分∠ABD，

∴∠ADB+∠ABD=2（∠FBD+∠BDE）=70°，

又∵四邊形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DBC=∠ADB，

∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ADB，

即∠ABC=70°

（3）

解： 的值不變．

證明：在△BMF中，

∠BMF=∠DMH=180°﹣∠ABD﹣∠BFH，

又∵∠BAD=180°﹣（∠ABD+∠ADB），

∠DMH+∠BAD=（180°﹣∠ABD﹣∠BFH）+（180°﹣∠ABD﹣∠ADB），

=360°﹣∠BFH﹣2∠ABD﹣∠ADB，

∠DNG=∠FNE=180°﹣ ∠BFH﹣∠AED，

=180°﹣ ∠BFH﹣∠ABD﹣ ∠ADB，

= （∠DMH+∠BAD），

∴ =2

【解析】本題考查了等腰三角形的性質、角平分線的性質以及平行線的性質，解決問題的關鍵在于熟悉掌握知識要點，并且善于運用角與角之間的聯系進行傳遞．（1）由AD∥BC，DE平分∠ADB，得∠ADC+∠BCD=180，∠BDC=∠BCD，得出∠1+∠2=90°；（2）由DE平分∠ADB，CD平分∠ABD，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠F=55°，得出∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ADB，即∠ABC=70°；（3）在△BMF中，根據角之間的關系∠BMF=180°﹣∠ABD﹣∠BFH，得∠GND=180°﹣∠AED﹣∠BFG，再根據角之間的關系得∠BAD= ﹣∠DBC，在綜上得出答案．
【考點精析】本題主要考查了角的平分線和平行線的性質的相關知識點，需要掌握從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線；兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補才能正確解答此題．