Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=2AD，線段EF=10．在EF上取一點M，分別以EM、MF為一邊作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形ABCD．令MN=x，當x為何值時，矩形EMNH的面積S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析：利用矩形相似，可得到比例線段，先設其中一段，MN=x，再利用面積公式可得到S關于x的二次函數，利用二次函數可求最大值．

解答：解：∵矩形MFGN∽矩形ABCD，
∴

MN

AD

=

MF

AB

．（1分）
∵AB=2AD，MN=x，
∴MF=2x．（2分）
∴EM=EF-MF=10-2x（0＜x＜5）．
∴S=x（10-2x）（5分）
=-2x²+10x
=-2（x-

5

2

）²+

25

2

．
∴當x=

5

2

時，S有最大值為

25

2

．（8分）

點評：利用矩形相似選擇二次函數模型，考查學生在新情境中的知識遷移能力．
同一直線[一分段]上所作的所有平行四邊形，其[在整個直線段上平行四邊形所余部分形成的]虧形與半線段上一平行四邊形相似者，以該半線段上所作且相似于虧形的那個平行四邊形（的面積）為最大．
本題實際上是一元二次方程的幾何解釋，由于考慮到難度的設計，最后將平行四邊形相似改成了矩形，將原來要分類討論的問題改成了只有一種情況．