Question

【題目】如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，∠DAC＝∠B．

（1）求證：CA是⊙O的切線．

（2）在AB上取一點E，若∠BCE＝∠B，AB＝2AC，求tan∠ACE的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）根據圓周角定理可知∠ADB＝90°，再根據∠DAC＝∠B和等量代換可知∠BAC＝90°，從而可證CA是⊙O的切線；

（2）將⊙O的半徑為r，EC＝x，在Rt△AEC中，通過勾股定理找到x與r之間的關系，從而表示出AE,AC,利用即可求解.

（1）證明：∵AB是直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴∠B+∠BAD＝90°，

∵∠DAC＝∠B，

∴∠DAC+∠BAD＝90°，

∴∠BAC＝90°，

∴BA⊥AC，

∴AC是⊙O的切線．

（2）解：設⊙O的半徑為r，EC＝x，

∵AB＝2AC，

∴AC＝r，

∵∠BCE＝∠B，

∴EB＝EC＝x，

∴AE＝2r﹣x

在Rt△AEC中，EC2＝AE2+AC2，

即x2＝（2r﹣x）2+r2，

解得