Question

【題目】拋物線y=ax2+bx﹣4與x軸交于A，B兩點，（點B在點A的右側）且A，B兩點的坐標分別為（﹣2，0）、（8，0），與y軸交于點C，連接BC，以BC為一邊，點O為對稱中心作菱形BDEC，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為（m，0），過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q，交BD于點M．

（1）求拋物線的解析式；
（2）當點P在線段OB上運動時，試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形？
（3）在（2）的結論下，試問拋物線上是否存在點N（不同于點Q），使三角形BCN的面積等于三角形BCQ的面積？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將A（﹣2，0），B（8，0）代入拋物線y=ax2+bx﹣4得：

，

解得： ，

∴拋物線的解析式：y= x2﹣ x﹣4

（2）

解：當x=0時，y=﹣4，

∴C（0，﹣4），

∴OC=4，

∵四邊形DECB是菱形，

∴OD=OC=4，

∴D（0，4），

設BD的解析式為：y=kx+b，

把B（8，0）、D（0，4）代入得： ，

解得： ，

∴BD的解析式為：y=﹣ x+4，

∵l⊥x軸，

∴M（m，﹣ m+4）、Q（m， m2﹣ m﹣4），

如圖1，∵MQ∥CD，

∴當MQ=DC時，四邊形CQMD是平行四邊形，

∴（﹣ m+4）﹣（ m2﹣ m﹣4）=4﹣（﹣4），

化簡得：m2﹣4m=0，

解得m1=0（不合題意舍去），m2=4，

∴當m=4時，四邊形CQMD是平行四邊形

（3）

解：如圖2，要使三角形BCN的面積等于三角形BCQ的面積，N點到BC的距離與Q到BC的距離相等；

設直線BC的解析式為：y=kx+b，

把B（8，0）、C（0，﹣4）代入得： ，

解得： ，

∴直線BC的解析式為：y= x﹣4，

由（2）知：當P（4，0）時，四邊形DCQM為平行四邊形，

∴BM∥QC，BM=QC，

得△MFB≌△QFC，

分別過M、Q作BC的平行線l1、l2，

所以過M或Q點的斜率為的 直線與拋物線的交點即為所求，

當m=4時，y=﹣ m+4=﹣ ×4+4=2，

∴M（4，2），

當m=4時，y= m2﹣ m﹣4= ×16﹣ ×4﹣4=﹣6，

Q（4，﹣6），

①設直線l1的解析式為：y= x+b，

∵直線l1過Q點時，

∴﹣6= ×4+b，b=﹣8，

∴直線l1的解析式為：y= x﹣8，

則 ，

= x﹣8，

解得x1=x2=4（與Q重合，舍去），

②∵直線l2過M點，

同理求得直線l2的解析式為：y= x，

則 ，

= x，

x2﹣x﹣16=0，

解得x1=4+4 ，x2=4﹣4 ，

代入y= x，得 ， ，

則N1（4+4 ，2+2 ），N2（4﹣4 ，2﹣2 ），

故符合條件的N的坐標為N1（4+4 ，2+2 ），N2（4﹣4 ，2﹣2 ）．

【解析】（1）直接將A、B兩點的坐標代入拋物線的解析式中，列方程組可求a、b的值，寫出解析式即可；（2）先求點C和D的坐標，求直線BD的解析式，根據橫坐標m表示出點Q和M的縱坐標，由MQ∥CD，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，證明MQ=CD即可，因此列等式：（﹣ m+4）﹣（ m2﹣ m﹣4）=4﹣（﹣4），求m即可；（3）要使三角形BCN的面積等于三角形BCQ的面積，可先判斷四邊形CQBM是平行四邊形，解得M點到BC的距離與Q到BC的距離相等，所以過M或Q點的與直線BC平行的直線與拋物線的交點即為所求，列方程組可得結論．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．