Question

（2013•吳中區一模）如圖所示，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為（6，0），（0，2），點D是線段BC上的動點（與端點B、C不重合），過點D作直線y=-

1

2

x+b交折線OAB于點E．
（1）記△ODE的面積為S，求S與b的函數關系式；
（2）當點E在線段OA上時，若矩形OABC關于直線DE的對稱圖形為四邊形O₁A₁B₁C₁，試探究四邊形O₁A₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積是否發生變化？若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求得直線經過點A，B，C時，b的值；然后分別從若直線與折線OAB的交點在OA上時，即2＜b≤3時與若直線與折線OAB的交點在BA上時，即3＜b＜5時分析求解，即可求得S與b的函數關系式；
（2）首先設O₁A₁與CB相交于點M，OA與C₁B₁相交于點N，則矩形O₁A₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積．易得四邊形DNEM為菱形，又由tan∠DEN=

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2

，DH=2，設菱形DNEM的邊長為a，由勾股定理知：a²=（4-a）²+2²，可求得a的值，繼而求得重疊部分的面積．

解答：解：（1）若直線經過點A（6，0）時，則b=3，
若直線經過點B（6，2）時，則b=5，
若直線經過點C（0，2）時，則b=2，
①若直線與折線OAB的交點在OA上時，即2＜b≤3時，
如圖1，此時E（2b，0），
∴S=

1

2

OE•OC=

1

2

×2b×2=2b；
②若直線與折線OAB的交點在BA上時，即3＜b＜5時，
如圖1，此時E（6，b-3），D（2b-4，2），
∴CD=2b-4，BD=6-CD=10-2b，AE=b-3，BE=AB-AE=5-b，
∴S=S_矩形OABC-S_△OCD-S_△DBE-S_△OAE=6×2-

1

2

×2×（2b-4）-

1

2

×（10-2b）×（5-b）-

1

2

×6×（b-3）=5b-b²，
∴S與b的函數關系式為：S=

2b    (2＜b≤3) 5b-b2(3＜b＜5)

；

（2）如圖3，設O₁A₁與CB相交于點M，OA與C₁B₁相交于點N，則矩形O₁A₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積．
由題意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四邊形DNEM為平行四邊形，
根據軸對稱知，∠MED=∠NED，
又∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四邊形DNEM為菱形．
過點D作DH⊥OA，垂足為H，
由題易知，tan∠DEN=

1

2

，DH=2，
∴HE=4，
設菱形DNEM的邊長為a，由勾股定理知：a²=（4-a）²+2²，
∴a=

5

2

，
∴S_{四邊形DNEM}=NE•DH=5，
∴四邊形O₁A₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積始終為5．

點評：此題屬于一次函數的綜合題，考查了待定系數法求一次函數的解析式、利用的判定與性質、三角形的面積以及勾股定理等知識．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合、分類討論思想與方程思想的應用．