Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作圓O，分別交BC于點D，交CA的延長線于點E，過點D作DH⊥AC于點H，連接DE交線段OA于點F．
（1）求證：DH是圓O的切線；
（2）若A為EH的中點，求 的值；
（3）若EA=EF=1，求圓O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，如圖1，

∵OB=OD，

∴△ODB是等腰三角形，

∠OBD=∠ODB①，

在△ABC中，∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB②，

由①②得：∠ODB=∠OBD=∠ACB，

∴OD∥AC，

∵DH⊥AC，

∴DH⊥OD，

∴DH是圓O的切線

（2）解：如圖2，在⊙O中，∵∠E=∠B，

∴由（1）可知：∠E=∠B=∠C，

∴△EDC是等腰三角形，

∵DH⊥AC，且點A是EH中點，

設(shè)AE=x，EC=4x，則AC=3x，

連接AD，則在⊙O中，∠ADB=90°，AD⊥BD，

∵AB=AC，

∴D是BC的中點，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥AC，OD= AC= ×3x= ，

∵OD∥AC，

∴∠E=∠ODF，

在△AEF和△ODF中，

∵∠E=∠ODF，∠OFD=∠AFE，

∴△AEF∽△ODF，

∴ ，

∴ = = ，

∴ =

（3）解：如圖2，設(shè)⊙O的半徑為r，即OD=OB=r，

∵EF=EA，

∴∠EFA=∠EAF，

∵OD∥EC，

∴∠FOD=∠EAF，

則∠FOD=∠EAF=∠EFA=∠OFD，

∴DF=OD=r，

∴DE=DF+EF=r+1，

∴BD=CD=DE=r+1，

在⊙O中，∵∠BDE=∠EAB，

∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE，

∴BF=BD，△BDF是等腰三角形，

∴BF=BD=r+1，

∴AF=AB﹣BF=2OB﹣BF=2r﹣（1+r）=r﹣1，

在△BFD和△EFA中，

∵ ，

∴△BFD∽△EFA，

∴ ，

∴ = ，

解得：r1= ，r2= （舍），

綜上所述，⊙O的半徑為

【解析】（1）根據(jù)同圓的半徑相等和等邊對等角證明：∠ODB=∠OBD=∠ACB，則DH⊥OD，DH是圓O的切線；（2）如圖2，先證明∠E=∠B=∠C，則H是EC的中點，設(shè)AE=x，EC=4x，則AC=3x，由OD是△ABC的中位線，得：OD= AC= ，證明△AEF∽△ODF，列比例式可得結(jié)論；（3）如圖2，設(shè)⊙O的半徑為r，即OD=OB=r，證明DF=OD=r，則DE=DF+EF=r+1，BD=CD=DE=r+1，證明△BFD∽△EFA，列比例式為： ，則 = ，求出r的值即可．