Question

【題目】已知矩形ABCD，AB=10，AD=8，G為邊DC上任意一點，連結AG，BG，以AG為直徑作⊙P分別交BG，AB于點E，H，連結AE，DE．

（1）若點E為弧GH的中點，證明：AG=AB．

（2）若△ADE為等腰三角形時，求DG的長．

（3）作點C關于直線BG的對稱點C′．

①當點C落在線段AG上時，設線段AG，DE交于點F，求△ADF與△AEF的面積之比；

②在點G的運動過程中，當點C′落在四邊形ADGE內時（不包括邊界），則DG的范圍是　 　（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DG＝4或6或5；（3）①；②＜DG＜10．

【解析】

（1）由AG為⊙P直徑可得：∠AEG=∠AEB=90°，由點E為弧DH的中點，可得：∠BAE=∠GAE，由此易證：△AEB≌△AEG；

（2）△ADE為等腰三角形，要分類討論：①AE=AD，②AE=DE，③AD=DE；

（3）①△ADF與△AEF的高相等，面積之比等于底之比；連接PE，證明PE∥CD，再利用相似三角形性質易求得結論，②點C'落在AE上時可求得DG的最小值，最大值很容易看出為10．

（1）∵AG為⊙P直徑，

∴∠AEG=∠AEB=90°．

∵點E為弧DH的中點，

∴∠BAE=∠GAE．

在△AEB和△AEG中，

∵，

∴△AEB≌△AEG（ASA），

∴AG=AB；

（2）如圖1，△ADE為等腰三角形，分三種情況：

①AE=AD=8．

∵AG為⊙P直徑，

∴∠AEG=∠AEB=90°，

∴BE6．

∵ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=∠ADC=90°，BC=AD=8，CD=AB=10，

∴∠ABE+∠CBG=90°，∠BAE+∠ABE=90°，

∴∠CBG=∠BAE．

在△BCG和△AEB中，

∵，

∴△BCG≌△AEB（ASA），

∴CG=BE=6，

∴DG=CD﹣CG=10﹣6=4．

②AE=DE，過點E作EM⊥AD于M．

∵AE=DE，EM⊥AD，

∴∠AEM=∠DEM，∠AME=∠DME=90°，

∴AB∥CD∥EM，

∴∠BAE=∠AEM=∠DEM=∠EDG，

∴．

由（1）得AG=AB=10，

∴DG6；

③AD=DE，過D作DN⊥AE于N，

∴∠AND=∠AEB=90°，AN=NE．

∵∠DAE+∠BAE=∠ADN+∠DAE=90°，

∴∠BAE=∠ADN，

∴△ADN∽△BAE，

∴，

即：，

∴．

∵∠ABE+∠CBG=∠CGB+∠CBG=90°，

∴∠ABE=∠CGB．

∵∠AEB=∠BCG=90°，

∴△BCG∽AEB，

∴，

即：，

∴CG=5，

∴DG=CD﹣CG=10﹣5=5．

綜上所述：DG=4或6或5．

（3）①如圖2，點C'，C關于直線BG對稱，連接BC'，連接PE，由軸對稱性質得：BC'=BC，∠C'BG=∠CBG，GC=GC'，∠BGC'=∠BGC，

∴∠BC'G=∠BCG=90°，

∴∠AC'B=∠GDA=90°．

∵AB∥DC，

∴∠BAC'=∠AGD．

∵BC'=BC=AD，

∴△ABC'≌△GAD（AAS），

∴AG=AB=10，DG6．

∵AB∥CD，

∴∠BGC=∠ABG=∠AGB．

∵AE⊥BG，

∴BE=EG．

∵AP=PG，

∴PE∥AB∥CD，PEAB=5，

∴△DFG∽△EFP，

∴，

∴．

②如圖3，當點C'落在矩形ABCD對角線AC上時．

∵∠AEB=∠BEC=∠ABC=∠BCG=90°，

∴∠BAC+∠ACB=∠CBG+∠ACB=90°，

∴∠BAC=∠CBG，

∴△ABC∽△BCG，

∴，

即CG，

∴DG=CD﹣CG=10．

當點G向右運動且不與點C時，C'始終落在四邊形ADGE內部，

∴DG＜10，

∴DG＜10．

故答案為：DG＜10．