Question

【題目】某商店銷售一種商品，經市場調查發現：該商品的周銷售量y(件)是售價x(元/件)的一次函數，其售價、周銷售量、周銷售利潤w(元)的三組對應值如表：

售價x(元/件)	30	40	60
周銷售量y(件)	90	70	30
周銷售利潤w(元)	450	1050	1050

注：周銷售利潤=周銷售量×(售價﹣進價)

（1）求y關于x的函數解析式(不要求寫出自變量的取值范圍)；

（2）當售價定為多少時，周銷售利潤最大，最大利潤是多少？

（3）由于某種原因，該商品進價提高了m元/件(m＞0)，物價部門規定該商品售價不得超過45元/件，該商店在今后的銷售中，周銷售量與售價仍然滿足（1）中的函數關系．若周銷售最大利潤是1080元，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y=-2x+150；（2）售價定為50元時，周銷售利潤最大，最大利潤是1250元；（3）m=2

【解析】

（1）根據題意設y=kx+b，將x=30，y=90以及x=40，y=70代入即可解答；

（2）根據售價為30元時，銷售量為90件，周銷售利潤為450元，可求出進價為25元，再根據周銷售利潤=周銷售量×(售價﹣進價)，得到，根據二次函數的性質即可求出最大利潤；

（3）表達出，根據對稱軸為直線，以及-2＜0可知，當x≤45時，w隨x增大而增大，進而確定當x=45時，w有最大值，列出方程即可解答．

解：（1）設y=kx+b，將x=30，y=90以及x=40，y=70代入得

，解得：k=-2，b=150，

∴y=-2x+150

（2）∵售價為30元時，銷售量為90件，周銷售利潤為450元，

∴進價為：30-450÷90=25（元）

∴，

∵-2＜0，

∴當時，w=1250（元）為最大周利潤；

故售價定為50元時，周銷售利潤最大，最大利潤是1250元；

（3）根據題意可得：，

∵對稱軸為直線，

又∵-2＜0，

∴當x≤45時，w隨x增大而增大，

∴當x=45元時，w有最大值為1080元，

∴，

解得：m=2，

故m=2．