Question

（2010•河源）如圖，直角梯形OABC中，OC∥AB，C（0，3），B（4，1），以BC為直徑的圓交x軸于E，D兩點（D點在E點右方）．
（1）求點E，D的坐標；
（2）求過B，C，D三點的拋物線的函數關系式；
（3）過B，C，D三點的拋物線上是否存在點Q，使△BDQ是以BD為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）設以BC為直徑的圓的圓心為M，由于⊙M過點D，由圓周角定理可得∠BDC=90°；即可證得△ABD∽△ODC，可用OD表示出DA，根據相似三角形得到的比例線段，即可求得OD的長，由此可得到點D、E的坐標；
（2）用待定系數法求解即可求出該拋物線的解析式；
（3）首先求出直線CD的解析式；由于CD⊥BD，且點C在拋物線的圖象上，因此C點就是符合條件的Q點；同理可先求出過B點且平行于CD的直線l的解析式，直線l與拋物線的交點（B點除外）也應該符合Q點的要求．
解答：解：（1）取BC的中點M，過M作MN⊥x軸于N；則M點即為以BC為直徑的圓的圓心；
∵點D是⊙M上的點，且BC是直徑，
∴∠BDC=90°；
∴∠OCD=∠BDA=90°-∠ODC；
又∵∠COD=∠OAB，
∴△OCD∽△ADB；
∴；
∵OC=3，AB=1，OA=OD+DA=4，
∴3×1=OD×（4-OD），
解得AD=1，OD=3；
∵點D在點E右邊，
∴OD=3，OE=1；
即D（3，0），E（1，0）；

（2）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，（a≠0），依題意，
有：，
解得；
∴y=x²-x+3；

（3）假設存在這樣的Q點；
①△BDQ以D為直角頂點；
由于CD⊥BD，且C點在拋物線的圖象上，
所以C點符合Q點的要求；
此時Q（0，3）；
②△BDQ以B為直角頂點；
易知直線CD的解析式為：y=-x+3；
作過B的直線l，且l∥CD；
設l的解析式為y=-x+h，由于l經過點B（4，1），
則有：-4+h=1，h=5；
∴直線l的解析式為y=-x+5；
聯立拋物線的解析式有：
，
解得，；
∴Q（-1，6）；
綜上所述，存在符合條件的Q點，且Q點坐標為（0，3）或（-1，6）．
點評：此題主要考查的圓周角定理、相似三角形的判定和性質、二次函數解析式的確定、函數圖象交點坐標的求法、直角三角形的判定等知識的綜合應用，綜合性強，難度較大．