Question

【題目】如圖，直線y=x與雙曲線y=（k＞0，x＞0）交于點P，PA⊥x軸于點A，S△PAO=

（1）k= 點P的坐標為 ；

（2）如圖1，點E的坐標為（0，﹣1），連接PE，過點P作PF⊥PE，交x軸于點F，求點F的坐標；

（3）如圖2，將點A向右平移5個單位長度得點M，Q為雙曲線y=（x＞0）上一點且滿足S△QPO=S△MPO，求點Q的坐標；

（4）將△PAO繞點P逆時針旋轉一個角α（0°＜α＜180°），記旋轉中的△PAO為△PA′O′設直線PO′、直線A′O′與x軸分別交于點G、H，是否存在這樣的旋轉角α，使得△GHO′為等腰三角形？若存在，直接寫出α；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）9，（3，3）（2）（7，0）（3）Q（9，1）或（1，9）；（4）當α為45°或67.5°或90°時，使△GHO′為等腰三角形

【解析】

試題分析：（1）由P為y=x與反比例函數的交點，得到P在y=x上，故設P（a，a），且a大于0，可得出AP=OA=a，由三角形AOP為直角三角形，且面積已知，利用三角形的面積公式列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可確定出P的坐標，將P的坐標代入反比例函數解析式中，即可求出k的值；

（2）根據題意過P作PF垂直于PE，交x軸于點F，過P作PB垂直于y軸于點B，先由一對對頂角相等及一對直角相等，利用三角形的內角和定理得出∠BEP=∠AFP，再由一對直角相等，以及BP=OA=AP，利用AAS可得出三角形BEP與三角形AFP全等，利用全等三角形的對應邊相等可得出BE=AF，由OF=OA+AF，即可得出點F的坐標；

（3）連接OQ，PQ，過Q作QC⊥x軸于C點，由A的坐標及平移的規律找出M的坐標，在x軸上作出M點，連接PM，△POM以OM為底邊，AP為高，求出△POM的面積，可得出△QPO的面積，由Q在反比例函數圖象上，設出Q的坐標為Q（m，）（m＞0），得出QC與OC，而△QOP的面積=△AOP的面積+直角梯形APQC的面積﹣△OQC的面積，而△AOP的面積與△QOC的面積相等，故△QOP的面積=直角梯形APQC的面積，由梯形的面積得出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可得出Q的坐標；

（4）分三種情況分析討論：①當GH=O′G時；②當GH=HO′時；③當GO′=HO′時；分別求得即可．

解：（1）由點P為y=x與反比例函數y=的交點，設P（a，a）（a＞0），如圖1所示：

可得出PA=OA=a，又S△PAO=，

則OA×PA=a2=，

解得：a=3或a=﹣3（舍去），

則P（3，3），

將x=3，y=3代入反比例函數解析式得：3=，

則k=3×3=9；

故答案為：9，（3，3）；

（2）過P作PF⊥PE，交x軸于點F，過P作PB⊥y軸于點B，如圖2所示：

∴BP=AP=3，

∵∠ODE=∠PDF，∠EOD=∠EPF=90°，

∴∠BEP=∠AFP，

在△BEP和△AFP中，

，

∴△BEP≌△AFP（AAS），

∴BE=AF，

∵OA=PA=OB=3，點E的坐標為（0，﹣1），

∴BE=4，

∴OF=OA+AF=3+4=7，

∴點F的坐標為（7，0）；

（3）連接OQ，PQ，過Q作QC⊥x軸于C點，連接PM，如圖3所示：

∵將A點沿x軸向右平移5個單位為M，

∴M（8，0），

∴OM=8，

∵PA=3，

∴S△MPO=OM×PA=×8×3=12，

∵S△QPO=S△MPO，

∴S△QPO=12，

設Q（m，）（m＞0），則有OC=m，QC=，

∵PA=OA=3，

∴AC=|m﹣3|，

∴S△QPO=S△PAO+S梯形APQC﹣S△QCO=+（+3）|m﹣3|﹣=12，

整理得：（m﹣9）（m+1）=0或者（m+9）（m﹣1）=0，

解得：m=9或m=﹣1（舍去），或者m=1或m=﹣9（舍去），

∴Q（9，1）或（1，9）；

（4）分三種情況：

當GH=O′G時，如圖4所示，

∵∠PO′A′=45°，

∴∠PO′A′=∠GHO′=45°，

∴∠O′GH=90°，

∴PO′⊥x軸

∴α=45°；

當GH=HO′時，如圖5，∵∠PO′A′=45°，

∴∠PO′A′=∠HGO′=45°，

∴∠GHO′=90°，

∴A′O′⊥x軸，

∴α=90°；

當GO′=HO′時，如圖6，

∵∠PO′A′=45°

∴∠GHO′=∠HGO′=67.5°，

∴∠PGA=67.5°，

∵∠PAG=90°，

∴∠APG=22.5°，

∵∠OPA=45°，

∴α=67.5°，

∴當α為45°或67.5°或90°時，使△GHO′為等腰三角形．