Question

如圖1，已知直線y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=﹣x²+bx+c經過A、B兩點，與x軸交于另一個點C，對稱軸與直線AB交于點E，拋物線頂點為D．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在第三象限內，F為拋物線上一點，以A、E、F為頂點的三角形面積為3，求點F的坐標；
（3）點P從點D出發，沿對稱軸向下以每秒1個單位長度的速度勻速運動，設運動的時間為t秒，當t為何值時，以P、B、C為頂點的三角形是直角三角形？直接寫出所有符合條件的t值．

Answer 1

（1）y=﹣x²﹣2x+3
（2）點F的坐標為（，）
（3）當t為秒或2秒或3秒或秒時，以P、B、C為頂點的三角形是直角三角形。

解析試題分析：（1）先由直線AB的解析式為y=x+3，求出它與x軸的交點A、與y軸的交點B的坐標，再將A、B兩點的坐標代入y=﹣x²+bx+c，運用待定系數法即可求出拋物線的解析式。
∵y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴當y=0時，x=﹣3，即A點坐標為（﹣3，0），當x=0時，y=3，即B點坐標為（0，3）。
將A（﹣3，0），B（0，3）代入y=﹣x²+bx+c，得
，解得。
∴拋物線的解析式為y=﹣x²﹣2x+3。
（2）設第三象限內的點F的坐標為（m，﹣m²﹣2m+3），運用配方法求出拋物線的對稱軸及頂點D的坐標，再設拋物線的對稱軸與x軸交于點G，連接FG，根據S_△AEF=S_△AEG+S_△AFG﹣S_△EFG=3，列出關于m的方程，解方程求出m的值，進而得出點F的坐標。
如圖1，設第三象限內的點F的坐標為（m，﹣m²﹣2m+3），

則m＜0，﹣m²﹣2m+3＜0。
∵y=﹣x²﹣2x+3=﹣（x+1）²+4，
∴對稱軸為直線x=﹣1，頂點D的坐標為（﹣1，4）。
設拋物線的對稱軸與x軸交于點G，連接FG，
則G（﹣1，0），AG=2。
∵直線AB的解析式為y=x+3，
∴當x=﹣1時，y=﹣1+3=2。∴E點坐標為（﹣1，2）。
∵S_△AEF=S_△AEG+S_△AFG﹣S_△EFG
=×2×2+×2×（m²+2m﹣3）﹣×2×（﹣1﹣m）=m²+3m，
∴以A、E、F為頂點的三角形面積為3時，m²+3m=3，
解得m₁=，m₂=（舍去）。
當m=時，﹣m²﹣2m+3=﹣m²﹣3m+m+3=﹣3+m+3=m=。
∴點F的坐標為（，）。
（3）設P點坐標為（﹣1，n），．
∵B（0，3），C（1，0），∴BC²=1²+3²=10。
分三種情況：
①如圖2，如果∠PBC=90°，那么PB²+BC²=PC²，

即（0+1）²+（n﹣3）²+10=（1+1）²+（n﹣0）²，
化簡整理得6n=16，解得n=。
∴P點坐標為（﹣1，）。
∵頂點D的坐標為（﹣1，4），
∴PD=4﹣=。
∵點P的速度為每秒1個單位長度，∴t₁=秒。
②如圖3，如果∠BPC=90°，那么PB²+PC²=BC²，

即（0+1）²+（n﹣3）²+（1+1）²+（n﹣0）²=10，
化簡整理得n²﹣3n+2=0，解得n=2或1。
∴P點坐標為（﹣1，2）或（﹣1，1），
∵頂點D的坐標為（﹣1，4），
∴PD=4﹣2=2或PD=4﹣1=3。
∵點P的速度為每秒1個單位長度，∴t₂=2秒，t₃=3秒。
③如圖4，如果∠BCP=90°，那么BC²+PC²=PB²，

即10+（1+1）²+（n﹣0）²=（0+1）²+（n﹣3）²，
化簡整理得6n=﹣4，解得n=。
∴P點坐標為（﹣1，）。
∵頂點D的坐標為（﹣1，4），∴PD=4+=。
∵點P的速度為每秒1個單位長度，
∴t₄=秒。
綜上所述，當t為秒或2秒或3秒或秒時，以P、B、C為頂點的三角形是直角三角形。