Question

在平面直角坐標系中，拋物線過原點O，且與x軸交于另一點A（A在O右側），頂點為B．艾思軻同學用一把寬3cm的矩形直尺對拋物線進行如下測量：（1）量得OA=3cm，（2）當把直尺的左邊與拋物線的對稱抽重合，使得直尺左下端點與拋物線的頂點重合時（如圖1），測得拋物線與直尺右邊的交點C的刻度讀數(shù)為4.5cm．
艾思軻同學將A的坐標記作（3，0），然后利用上述結論嘗試完成下列各題：
（1）寫出拋物線的對稱軸；
（2）求出該拋物線的解析式；
（3）探究拋物線的對稱軸上是否存在使△ACD周長最小的點D；
（4）然后又將圖中的直尺（足夠長）沿水平方向向右平移到點A的右邊（如圖2），直尺的兩邊交x軸于點H，G，交拋物線于E，F(xiàn)，探究梯形EFGH的面積S與線段EF的長度是否存在函數(shù)關系．
同學：如上述（3）（4）結論存在，請你幫艾思軻同學一起完成，如上述（3）（4）結論不存在，請你告訴艾思軻同學結論不存在的理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線過原點O，且與x軸交于另一點A（A在O右側），OA=3，
∴A點坐標為（3，0），
∴拋物線的對稱軸為直線x=；

（2）∵拋物線的對稱軸為直線x=，
∴可設拋物線的解析式為y=a（x-）²+k，
∴頂點B的坐標為（，k）．
如圖1，∵點C的橫坐標為：ON=+3=，點C在拋物線y=a（x-）²+k上，
∴點C的縱坐標為a（-）²+k=9a+k．
∵MC=4.5，
∴9a+k-k=4.5，
∴a=，
將A點坐標（3，0）代入y=（x-）²+k，
得（3-）²+k=0，解得k=-，
∴拋物線的解析式為y=（x-）²-，即y=x²-x；

（3）拋物線的對稱軸上存在使△ACD周長最小的點D，理由如下：
如圖1，連接OC，交拋物線的對稱軸于點D，則△ACD的周長=AC+AD+CD=AC+OD+CD=AC+OC最小．
設直線OC的解析式為y=mx，將點C的坐標（，）代入，
得m=，解得m=，
即直線OC的解析式為y=x，
當x=時，y=×=．
故所求D點坐標為（，）；

（4）梯形EFGH的面積S與線段EF的長度存在函數(shù)關系，理由如下：
如圖2，設點E橫坐標為a，則E點坐標為（a，a²-a），H點坐標為（a，0），
點F橫坐標為a+3，F(xiàn)點坐標為（a+3，（a+3）²-（a+3）），G點坐標為（a+3，0），
∵梯形EFGH的面積S=（EH+FG）•HG=[（a²-a）+（a+3）²-（a+3）]×3=a²，
又∵（a+3）²-（a+3）-（a²-a）=3a，EF==3，
∴=-1，
∴S=EF²-，即S是EF長度的二次函數(shù)．
分析：（1）由拋物線過原點O及A點（3，0），根據拋物線的對稱性，由中點坐標公式，即可求出拋物線的對稱軸為直線x=，即x=；
（2）先由拋物線的對稱軸為直線x=，設拋物線的解析式為頂點式y(tǒng)=a（x-）²+k，則頂點B的坐標為（，k），再將x=代入，求出點C的縱坐標為9a+k，根據MC=4.5，求出a=，然后將A點坐標（3，0）代入y=（x-）²+k，求出k=-，得到拋物線的解析式為y=（x-）²-，即y=x²-x；
（3）由于O、A兩點關于拋物線的對稱軸對稱，所以連接OC，交拋物線的對稱軸于點D，則△ACD的周長最小．先運用待定系數(shù)法求出直線OC的解析式，再將x=代入，求出y的值，即可得到D點坐標；
（4）先用含a的代數(shù)式分別表示E，H，F(xiàn)，G四點的坐標，得到EH與FG的長度，再根據梯形的面積公式求出S=a²，再運用兩點之間的距離公式求出EF=3，則=-1，整理后得出S=EF²-，即S是EF長度的二次函數(shù)．
點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質，平移、軸對稱的性質，梯形的面積、兩點之間的距離公式，綜合性較強，難度適中．根據拋物線的性質運用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式是解題的關鍵．