Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交邊BC、AC于點D、點E，且AE=BE．
（1）如圖①，求∠EBC的度數；
（2）如圖②，過點D作⊙O的切線交AB的延長線于點G，交AC于點F，若⊙O的直徑為10，求BG的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∵AE=BE，

∴∠A=∠ABE= =45°，

∵AB=AC，

∴ =67.5°，

∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=22.5°

（2）解：連接OD，AD，∵FG是⊙O的切線，

∴GF⊥OD，

∴∠ODG=90°，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=DC，

∵OA=OB，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥AC，

∴∠GOD=∠BAC=45°，

∵cos∠GOD= ，

∵⊙O的直徑為10，

∴OB=OD=5，

∴OG=5 ，

∴BG=5 ﹣5．

【解析】（1）由AB為⊙O的直徑，得到∠AEB=90°，根據等腰三角形的性質和三角形的內角和即可得到結論；（2）連接OD，AD，由FG是⊙O的切線，得到∠ODG=90°，根據三角形的中位線的性質得到OD∥AC，于是得到∠GOD=∠BAC=45°，于是得到結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰三角形的性質的相關知識，掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角），以及對切線的性質定理的理解，了解切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．