Question

（2003•綿陽）已知：如圖，D為△ABC的邊AC上一點，F為AB延長線上一點，DF交BC于E．
（1）若E是DF的中點，CD=BF，試判定△ABC的形狀．
（2）若AC•DE=AB•EF，證明：CD=BF．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據E是中點和CD=BF可以想到，△FBE與另一個三角形全等，所以過D作DG∥AB，這樣△FBE≌△DGE，所以FB、GD、CD都相等∠C=∠DGC=∠ABC，所以三角形是等腰三角形；
（2）先把乘積式轉化成比例式，所以需要過D作DG∥AB，再利用平行得，而由于平行還可以得到△ABC∽△DGC，得到，通過比例轉化和等量代換即可得到CD=BF．
解答：（1）解：過D作DG∥AB交BC于G，
∴，∠CGD=∠ABC
∵E是DF的中點，
∴DE=EF
∴GD=FB
又∵CD=FB，∴CD=GD
∴∠C=∠CGD
∴∠C=∠ABC
所以△ABC是等腰三角形．

（2）證明：過D作DG∥AB交BC于G，
∴，
∴
又∵AC•DE=AB•EF
∴
∴
∴CD=BF．
點評：本題旨在考查通過作輔助線，把相關的兩個量通過中間的一個量代換，從而使問題得以解決．