Question

數學課堂上，徐老師出示一道試題：

    如圖（十）所示，在正三角形ABC中，M是BC邊（不含端點B、C）上任意一點，P是BC延長線上一點，N是∠ACP的平分線上一點．若∠AMN＝60°，求證：AM＝MN．

(1)經過思考，小明展示了一種正確的證明過程．請你將證明過程補充完整．

    證明：在AB上截取EA＝MC，連結EM，得△AEM．

    ∵∠1＝180°－∠AMB－∠AMN，∠2＝180°－∠AMB－∠B，∠AMN＝∠B＝60°，∴∠1＝∠2．

    又CN平分∠ACP，∠4＝∠ACP＝60°．∴∠MCN＝∠3＋∠4＝120°…………①

又∵BA＝BC，EA＝MC，∴BA－EA＝BC－MC，即BE＝BM．

∴△BEM為等邊三角形．∴∠6＝60°．

∴∠5＝180°－∠6＝120°．………②

∴由①②得∠MCN＝∠5．

在△AEM和△MCN中，

∵                                            

∴△AEM≌△MCN (ASA)．∴AM＝MN．

(2)若將試題中的“正三角形ABC”改為“正方形A₁B₁C₁D₁”（如圖），N₁是∠D₁C₁P₁的平分線上一點，則當∠A₁M₁N₁＝90°時，結論A₁M₁＝M₁N₁．是否還成立？（直接寫出答案，不需要證明）

(3) 若將題中的“正三角形ABC”改為“正多邊形A_nB_nC_nD_n…X_n”，請你猜想：當∠A_nM_nN_n＝    °時，結論A_nM_n＝M_nN_n仍然成立？（直接寫出答案，不需要證明）

    

 

 

Answer 1

【答案】

1)∵∠1＝∠2．  AE=MC ， ∠MCN＝∠5．

2)成立   在上截取

3)∠AMN=60°＝ （3－2）/3 ×180°

∠A1M1N1=90°＝（4－2）/4  ×180°

∠AnMnNn= （n－2）/n  ×180°

【解析】本題考察了三角形全等的判定，當全等三角形不明確時構建全等三角形是本題的主旨，如何構建就是個人長期學習練習形成的，難度較大的是第三問，這里如果能快速判定該角度數是180的若干倍，且這個倍數與正多邊形的邊數有內在聯系將容易分析。難度較大