Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O（圓心O在△ABC內部）經過B、C兩點，并交AB于點E，過點E作⊙O的切線交AC于點F．延長CO交AB于點G，作ED∥AC交CG于點D.

（1）求證：四邊形CDEF是平行四邊形；

（2）若BC＝3，＝2，求BG的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BG＝．

【解析】

（1）先證明∠COE＝2∠B＝90°，根據EF是⊙O的切線，得到EF∥OC，又DE∥CF，可得到四邊形CDEF是平行四邊形；

（2）過G作GN⊥BC于N

tan∠EDO＝tan∠CGN＝＝2，CN＝2GN，CN+BN＝2GN+GN＝3，GN＝1，得到

BG＝GN＝．

（1）∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，

∴∠B＝45°，

∴∠COE＝2∠B＝90°，

∵EF是⊙O的切線，

∴∠FEO＝90°，

∴EF∥OC，

∵DE∥CF，

∴四邊形CDEF是平行四邊形；

（2）過G作GN⊥BC于N．

∴△GNB是等腰直角三角形，

∴NB＝GN，

∵四邊形CDEF是平行四邊形，

∴∠FCD＝∠FED，

∵∠ACD+∠GCB＝∠GCB+∠CGN＝90°，

∴∠CGN＝∠ACD，

∴∠CGN＝∠DEF，

∵＝2，

∴tan∠EDO＝tan∠CGN＝＝2，

∴CN＝2GN，

∴CN+BN＝2GN+GN＝3，

∴GN＝1，

∴BG＝GN＝．