Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于原點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．

（1）求拋物線的表達(dá)式，并寫出它的對稱軸；

（2）求的值；

（3）點(diǎn)在拋物線的對稱軸上，如果，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；對稱軸為；（2）2；（3）

【解析】

（1）將點(diǎn)O（0,0），點(diǎn)B（4,0）分別代入使用待定系數(shù)法即可求得解析式，然后再使用對稱軸公式解答即可；

（2）把點(diǎn)A（3，m）代入y=-x2+4x，求出m的值，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，過點(diǎn)B作BM⊥OA，交OA于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AE⊥OB，交OB于點(diǎn)E，然后根據(jù)三角形的面積和勾股定理，求出線段BM和AM的長，最后運(yùn)用正切的定義解答即可；

（3）把AB繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到BC，作AE⊥OB于E,CF⊥OB于F,CA交直線x=2于D點(diǎn)，利用△BAC為等腰直角三角形得到∠CAB=45°，證明△ABE≌△BCF得到BF=AE=3，BE=CF=1，則C（1，-1），根據(jù)待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=2x-3，然后計算自變量為2對應(yīng)的一次函數(shù)值，即可確定D點(diǎn)的坐標(biāo).

解：由待定系數(shù)法得：

解得

所以拋物線的表達(dá)式為：y=-x2+4x，它的對稱軸為：x=

（2）把點(diǎn)A（3，m）代入y=-x2+4x，解得m==3，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,3）

如圖：過點(diǎn)B作BM⊥OA，交OA于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AE⊥OB交OB于點(diǎn)E

AE=3,OE=3，BE=4-3=1，OA= , AB=

S△OAB=

∴BM

∴AM=

∴

（3）把AB繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到BC，如圖所示，作AE⊥OB于E,CF⊥OB于F,CA交直線x=2于D點(diǎn)，

∵BA=BC，∠ABC=90°，

∴△BAC為等腰直角三角形

∴∠CAB=45°

∵∠ABE=∠BCF，∠AEB=∠BFC=90°

∴△ABE≌△BCF（AAS）

∴BF=AE=3，BE=CF=1

∴C(1，-1)

∴直線AC的解析式為y=2x-3，

∴當(dāng)x=2時D點(diǎn)坐標(biāo)為（2,1）