Question

【題目】如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=5，tan∠DBC=．點E為線段BD上任意一點（點E與點B，D不重合），過點E作EF∥CD，與BC相交于點F，連接CE．設BE=x，y=．

（1）求BD的長；

（2）如果BC=BD，當△DCE是等腰三角形時，求x的值；

（3）如果BC=10，求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）；（3）（0＜x＜8）．

【解析】

試題分析：（1）過A作AH⊥BD于H，再根據AD∥BC，AB=AD=5，可得∠ABD=∠ADB=∠DBC，BH=HD，再根據tan∠ABD= tan∠DBC=，計算出BH=DH=4，進而得到BD=8；

（2）分兩種情況用銳角三角函數計算即可得出結論．

（3）首先利用平行線的性質得出△FEB∽△CDB，即可得出y與x的函數關系式；

試題解析：（1）如圖1，過A作AH⊥BD于H，∵AD∥BC，AB=AD=5，∴∠ABD=∠ADB=∠DBC，BH=HD，在Rt△ABH中，∵tan∠ABD=tan∠DBC=，∴cos∠ABD=，∴BH=DH=4，∴BD=8；

（2）∵△DCE是等腰三角形，且BC=BD=8，∴①如圖2，當CD=DE時，即：CD=DE=BD﹣BE=8﹣x，過點D作DG⊥BC于G，在Rt△BDG中，tan∠DBC=，BD=8，∴DG=BD=，BG=BD=，∴CG=8﹣BG=，在Rt△CDG中，根據勾股定理得，DG2+CG2=CD2，∴，∴x=（舍）或x=；

②如圖3，當CE=CD時，過點C作CG⊥BD，∴DG=EG=DE，在Rt△BCG中，BC=8，tan∠DBC=，∴BG=，∴DG=BD﹣BG=，∴x=BE=BD﹣DE=BD﹣2DG=．

（3）∵BF=x，BC=10，∴FC=10﹣x，∴==，∵EF∥DC，∴△FEB∽△CDB，∴=，∴==（0＜x＜8），∴（0＜x＜8）．