Question

【題目】閱讀下面材料：小騰遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，點D在線段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的長．

小騰發現，過點C作CE∥AB，交AD的延長線于點E，通過構造△ACE，經過推理和計算能夠使問題得到解決（如圖 2）．

請回答：∠ACE的度數為 ，AC的長為 ．

參考小騰思考問題的方法，解決問題：

如圖 3，在四邊形 ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC與BD交于點E，AE=2，BE=2ED，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）3（2）∠ACE=75°，AC=3（3）

【解析】

試題分析：根據相似的三角形的判定與性質，可得=2，根據等腰三角形的判定，可得AE=AC，根據正切函數，可得DF的長，根據直角三角形的性質，可得AB與DF的關系，根據勾股定理，可得答案．

試題解析：∠ABC+∠ACB=∠ECD+∠ACB=∠ACE=180°﹣75°﹣30°=75°，

∠E=75°，BD=2DC，

∴AD=2DE，

AE=AD+DE=3，

∴AC=AE=3，

∠ACE=75°，AC的長為3．

過點D作DF⊥AC于點F．

∵∠BAC=90°=∠DFA，

∴AB∥DF，

∴△ABE∽△FDE，

∴=2，

∴EF=1，AB=2DF．

在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°，

∴∠ACD=75°，AC=AD．

∵DF⊥AC，

∴∠AFD=90°，

在△AFD中，AF=2+1=3，∠FAD=30°，

∴DF=AFtan30°=，AD=2DF=2．

∴AC=AD=2，AB=2DF=2．

∴BC==．