Question

如圖（1），∠ABC=90°，O為射線BC上一點，OB=4，以點O為圓心，2

2

長為半徑作⊙O交BC于點D、E．
（1）當射線BA繞點B按順時針方向旋轉多少度時與⊙O相切？請說明理由．
（2）若射線BA繞點B按順時針方向旋轉60°時與⊙O相交于M、N兩點，如圖（2），求

MN

的長．

Answer 1

分析：（1）首先設切點為F，連OF．則OF⊥BF，由特殊角的三角函數值，即可求得∠OBF的度數，繼而求得當射線BA繞點B按順時針方向旋轉多少度時與⊙O相切；
（2）首先過點O作OH⊥AB于點H，由射線BA繞點B按順時針方向旋轉60°時與⊙O相交于M、N兩點，即可得∠ABC=30°，繼而求得OH的長，然后由特殊角的三角函數值，求得∠MOH的度數，繼而求得∠MON的度數，然后由弧長公式求得

MN

的長．

解答：解：（1）當射線BA繞點B按順時針方向旋轉45度°或135°時與⊙O相切．
理由如下：如圖，設切點為F，連OF．則OF⊥BF，
在Rt△OBF中，OF=2

2

，OB=4，
∴cos∠OBF=

BF

OB

=

2

2

，
∴∠OBF=∠BOF=45°，
∴∠ABF=45°，
同理：當∠ABF=135°時，AB旋轉的此時BF的反向延長線上，
∴當射線BA繞點B按順時針方向旋轉45度°或135°時與⊙O相切．

（2）過點O作OH⊥AB于點H，
∵射線BA繞點B按順時針方向旋轉60°時與⊙O相交于M、N兩點，
∴∠ABC=30°，
∴OH=

1

2

OB=

1

2

×4=2，
在Rt△OMH中，OM=2

2

，
∴cos∠MOH=

OH

OM

=

2

2

，
∴∠MOH=45°，
∴∠MON=90°，
∴

MN

的長為：

90×π×2 2

180

=

2

π．

點評：此題考查了切線的性質、旋轉的性質、直角三角形的性質以及特殊角的三角函數問題．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．