Question

【題目】在△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分線，P是射線AC上任意一點（不與A、D、C三點重合），過點P作PQ⊥AB，垂足為Q，交直線BD于E．
（1）如圖，當點P在線段AC上時，說明∠PDE=∠PED．
（2）作∠CPQ的角平分線交直線AB于點F，則PF與BD有怎樣的位置關系？畫出圖形并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PQ⊥AB，

∴∠EQB=∠C=90°，

∴∠BEQ+∠EBQ=90°，∠CBD+∠PDE=90°，

∵BD為∠ABC的平分線，

∴∠CBD=∠EBQ，

∵∠PED=∠BEQ，

∴∠PDE=∠PED

（2）解：當P在線段AC上時，如圖1所示，此時PF∥BD，

理由為：∵∠PDE=∠PED，

∴PD=PE，

∵PF為∠CPQ的平分線，∠CPQ為△PDE的外角，

∴∠CPF=∠QPF=∠PDE=∠PED，

∴PF∥BD；

當P在線段AC延長線上時，如圖2所示，PF⊥BD，

理由為：∵∠PDE=∠PED，

∴PD=PE，

∵PM為∠CPQ的平分線，

∴PF⊥BD

【解析】（1）由PQ與AB垂直，得到一對直角相等，理由直角三角形的兩銳角互余得到兩對角互余，再BD為角平分線，利用角平分線定義得到一對角相等，再由對頂角相等，利用等量代換即可得證；（2）分兩種情況，當P在線段AC上時，如圖1所示，可得出PF與BD平行，由第一問的結論利用等角對等邊得到PD=PE，利用角平分線定義及外角性質得到一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行即可得證；當P在AC延長線時，PF垂直于BD，由PD=PE，利用三線合一即可得證．
【考點精析】本題主要考查了平行線的判定和三角形的內角和外角的相關知識點，需要掌握同位角相等，兩直線平行;內錯角相等，兩直線平行;同旁內角互補，兩直線平行；三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角才能正確解答此題．