Question

請閱讀下列材料：
（1）問題：如圖1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，點A，B，E在同一條直線上，P是線段DF的中點，連接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG與PC的位置關系及

PG

PC

的值．
（2）實驗與探究：延長GP交DC于點H，構造全等三角形，經過推理使問題得到解決．
寫出上面問題中線段PG與PC的位置關系

垂直

； 及

PG

PC

=

3

．
（3）歸納與發現：將圖1中的菱形BEFG繞點B順時針旋轉，使菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖2）．你在（1）中得到的兩個結論是否發生變化？寫出你的猜想并加以證明．
運用與拓廣：
若圖1中∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），將菱形BEFG繞點B順時針旋轉任意角度，原問題中的其他條件不變，請你直接寫出

PG

PC

的值（用含α的式子表示）．

Answer 1

分析：（1）PG⊥PC，且

PG

PC

=

3

，理由為：延長PG，與DC交于點H，如圖1所示，可通過構建全等三角形求解．延長GP交DC于H，可證△DHP和△PGF全等，已知的有DC∥GF，根據平行線間的內錯角相等可得出兩三角形中兩組對應的角相等，又有DP=PF，因此構成了全等三角形判定條件中的（AAS），得出兩三角形全等，于是△CHG就是等腰直角三角形且CP是底邊上的中線，根據等腰三角形三線合一的特點，即可得出CP⊥PG；又△CHG是個等腰三角形，得出頂角為120°，可根據三角函數來得出PG、CP的比例關系；
（2）在（1）中得到的兩個結論不發生變化，即PG⊥PC，且

PG

PC

=

3

，理由為：延長CP，與AB交于M點，連接CG，MG，構造全等三角形，可證三角形CBG與三角形MFG全等，先同（1）證明三角形CDP與三角形PFM全等，得到CP=MP，DC=MF，由DC=CB得到CB=MF，再由菱形BEFG得到BG=FG，再由一對角相等，利用SAS可得出三角形CBG與三角形MFG全等，利用全等三角形的對應邊相等得到CG=MG，由P為CM的中點，利用三線合一得到PG與CP垂直，同時利用等式的性質得到∠CGM=60°，由CG=MG，得到三角形MCG為等邊三角形，可得出∠PCG=60°，在直角三角形PCG中，利用銳角三角函數定義及特殊角的三角函數值即可求出PG與PC的比值為

3

；
（3）將菱形BEFG繞點B順時針旋轉任意角度，原問題中的其他條件不變，取特殊情況考慮：如圖1，由∠ABC=∠BEF=2α，根據兩直線平行同旁內角互補表示出∠DCB，再由（1）得出CP為∠DCB角平分線，表示出∠PCG，在直角三角形PCG中，利用銳角三角函數定義可得tan∠PCG=

PG

PC

=tan（90°-α）．

解答：解：（1）PG⊥PC，且

PG

PC

=

3

，理由為：
證明：延長PG，與DC交于點H，如圖1所示，
∵四邊形ABCD是菱形，四邊形EFBG是菱形，
∴DC∥AE，BE∥GF，
∴DC∥GF，
∴∠HDP=∠GFP，∠DHP=∠FGP，
又P為DF的中點，
∴DP=FP，
在△DHP和△FGP中，

∠HDP=∠GFP ∠DHP=∠FGP DP=FP

，
∴△DHP≌△FGP（AAS），
∴DH=GF，HP=GP，
又∵CD=CB，GF=GB，
∴DC-DH=CB-GF=CB-GB，即CH=CG，
∴△CHG為等腰三角形，
∴CP⊥PG，CP為∠DCB的平分線，
又∵∠ABC=60°，
∴∠DCB=120°，
∴∠PCG=60°，
在Rt△PCG中，tan∠PCG=

PG

PC

=tan60°=

3

；

（2）在（1）中得到的兩個結論不發生變化，即PG⊥PC，且

PG

PC

=

3

，理由為：
證明：延長CP，與AB交于M點，連接CG，MG，
∵四邊形ABCD是菱形，四邊形EFBG是菱形，
∴DC∥AB，BG=FG，DC=BC，
∴∠CDP=∠DFA，∠DCP=∠FMP，
又∵P為DF的中點，
∴DP=FP，
在△DCP和△FMP中，

∠CDP=∠MFP ∠DCP=∠FMP DP=FP

，
∴△DCP≌△FMP（AAS），
∴DC=MF，CP=MP，
∴MF=BC，
∵菱形BEFG中，BF平分∠GBE，
∴∠ABC=∠EBF=∠GBF=60°，
∴∠CBG=∠MFG=60°，
在△CBG和△MFG中，

CB=MG ∠CBG=∠MFG=60° BG=FG

，
∴△CBG≌△MFG（SAS），
∴CG=MG，∠CGB=∠MGF，
∴CP⊥PG，
∵∠CGB=∠CGM+∠GMB=∠MGF=∠FGB+∠BGM，
∴∠CGM=∠FGB=60°，
又∵CG=GM，
∴△CGM是等邊三角形，
∴∠PCG=60°，
在Rt△PCG中，tan∠PCG=

PG

PC

=tan60°=

3

；

（3）

PG

PC

=tan（90°-α），理由為：
用特值法：如圖1所示，假設∠ABC=∠BEF=2α，
可得∠PCG=

1

2

（180°-2α）=90°-α，
則tan∠PCG=

PG

PC

=tan（90°-α）．
故答案為：垂直；

3

．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，菱形的性質，等腰三角形的性質，銳角三角函數定義，平行線的性質，以及特殊角的三角函數值，是一道綜合性較強的試題．