Question

【題目】已知：如圖1，圖2，在平面直角坐標系xOy中，A（0，4），B（0，2），點C在x軸的正半軸上，點D為OC的中點．

（1）求證：BD∥AC；
（2）如果OE⊥AC于點E，OE=2時，求點C的坐標；
（3）如果OE⊥AC于點E，當四邊形ABDE為平行四邊形時，求直線AC的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵A（0，4），B（0，2），

∴OA=4，OB=2，點B為線段OA的中點，

∵點D為OC的中點．

∴BD∥AC．

（2）

解：∵OE⊥AC于點E，

∴△AOE是直角三角形．

∵OA=4，OE=2= OA，

∴∠OAE=30°．

∵∠AOC=90°，∠OAC=30°，

∴AC=2OC．

在Rt△AOC中，由勾股定理可得：OC2+OA2=AC2，

即OC2+16=4OC2，解得：OC= ，

∵點C在x軸的正半軸上，

∴點C的坐標為（ ，0）

（3）

解：連接BE，如圖所示．

當四邊形ABDE為平行四邊形時，DE∥AB，DE=AB．

由（1）知點B為線段OA的中點，

∴DE∥OB，DE=OB，

∴四邊形ODEB是平行四邊形，

∵OB⊥OC，

∴ODEB是矩形．

∵BD∥AC，OE⊥AC，

∴OE⊥BD，

∴矩形ODEB是正方形，

∴OD=OB=2．

∵點D為OC的中點，

∴OC=2OD=4，

∵點C在x軸的正半軸上，

∴點C的坐標為（4，0）．

設直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），

把點A（0，4）、C（4，0）代入y=kx+b中，

得： ，解得： ，

∴直線AC的解析式為y=﹣x+4．

【解析】（1）由點A、B的坐標可得出點B為線段OA的中點，再結合點D為線段OC的中點，即可證得BD∥AC；（2）在Rt△AOE中，由OA、OE的長即可得出∠OAE的度數，在Rt△AOC中可得出AC、OC的關系，再利用勾股定理即可得出OC的長度，根據點C的位置即可得出點C的坐標；（3）連接BE，根據正方形的判定即可得出四邊形ODEB是正方形，由正方形的性質即可得出點D的坐標，進而得出點C的坐標，再根據點A、C的坐標利用待定系數法即可求出直線AC的解析式．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．