Question

已知：如圖，AB為⊙O的直徑，PA、PC是⊙O的切線，A、C為切點，∠BAC=30°．
（1）求∠P的大小；
（2）若AB=6，求PA的長．

Answer 1

分析：（1）由圓的切線的性質，得∠PAB=90°，結合∠BAC=30°得∠PAC=90°-30°=60°．由切線長定理得到PA=PC，得△PAC是等邊三角形，從而可得∠P=60°．
（2）連結BC，根據直徑所對的圓周角為直角，得到∠ACB=90°，結合Rt△ACB中AB=6且∠BAC=30°，得到AC=ABcos∠BAC=3

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．最后在等邊△PAC中，可得PA=AC=3

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解答：解：（1）∵PA是⊙O的切線，AB為⊙O的直徑，
∴PA⊥AB，即∠PAB=90°．
∵∠BAC=30°，
∴∠PAC=90°-30°=60°．
又∵PA、PC切⊙O于點A、C，
∴PA=PC，
∴△PAC是等邊三角形，
∴∠P=60°．
（2）如圖，連結BC．
∵AB是直徑，∠ACB=90°，
∴在Rt△ACB中，AB=6，∠BAC=30°，
可得AC=ABcos∠BAC=6×cos30°=3

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．
又∵△PAC是等邊三角形，
∴PA=AC=3

3

．

點評：本題著重考查了圓的切線的性質定理、切線長定理、直徑所對的圓周角、等邊三角形的判定與性質和解直角三角形等知識，掌握各知識點的運用是關鍵，難度適中．