Question

【題目】在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于點D，點E為AB的中點，EC與AD交于點G，點F在BC上．
（1）如圖1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求證：EF=CD．
（2）如圖2，AC：AB=1： ，EF⊥CE，求EF：EG的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，

在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于點D，

∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB．

∵AC：AB=1：2，

∴AB=2AC，

∵點E為AB的中點，

∴AB=2BE，

∴AC=BE．

在△ACD與△BEF中，

，

∴△ACD≌△BEF，

∴CD=EF，即EF=CD

（2）解：如圖2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，

∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，

∴四邊形EQDH是矩形，

∴∠QEH=90°，

∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG，

又∵∠EQF=∠EHG=90°，

∴△EFQ∽△EGH，

∴EF：EG=EQ：EH．

∵AC：AB=1： ，∠CAB=90°，

∴∠B=30°．

在△BEQ中，∵∠BQE=90°，

∴sinB= = ，

∴EQ= BE．

在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，

∴cos∠AEH= = ，

∴EH= AE．

∵點E為AB的中點，

∴BE=AE，

∴EF：EG=EQ：EH= BE： AE=1： = ：3

【解析】（1）根據同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根據AC：AB=1：2及點E為AB的中點，得出AC=BE，再利用AAS證明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD；（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先證明四邊形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，則∠FEQ=∠GEH，再由兩角對應相等的兩三角形相似證明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根據正弦函數的定義得出EQ= BE，在△AEH中，根據余弦函數的定義得出EH= AE，又BE=AE，進而求出EF：EG的值．
【考點精析】通過靈活運用相似三角形的判定與性質，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．