Question

【題目】在平面直角坐標系中,已知點A在y軸的正半軸上,點B在第二象限,AO=a,AB=b,BO與x軸正方向的夾角為150°,且a2b2+ab=0.

(1)試判定△ABO的形狀；

(2)如圖1，若BC⊥BO，BC=BO，點D為CO的中點，AC、BD交于E，求證：AE=BE+CE；

(3)如圖2，若點E為y軸的正半軸上一動點，以BE為邊作等邊△BEG，延長GA交x軸于點P，問：AP與AO之間有何數量關系?試證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）△AOB為等邊三角形，理由見解析；（2）見解析；（3）AP=2AO，證明見解析；

【解析】

（1）△ABO為等邊三角形，理由為：根據（a2-b2）+（a-b）=0，得到a=b，再由BO與x軸正方向的夾角為150°得到∠AOB=60°，即可得證；

（2）在AC上截取AM=CE，先證∠AEB=60°，方法是根據題意得到△ABO為等邊三角形，△BOC為等腰直角三角形，確定出∠ABD度數，根據AB=BC，且∠ABC=120°，得到∠BAE度數，進而確定出∠AEB為60°，再由AM=CE，得到AE=CM，再由AB=CB，且夾角∠BAC=∠BCA，利用SAS得到△BCM與△BAE全等，利用全等三角形的對應邊相等得到BM=BE，得到△BEM為等邊三角形，得到BE=EM，由AE=EM+AM，等量代換即可得證；

（3）AP=2AO，理由為：由題意得到BG=BE，AB=OB，利用等式的性質得到∠ABG=∠OBE，利用SAS得到△ABG與△OBE全等，利用全等三角形的對應角相等得到∠GAB=∠BOE=60°，利用外角的性質得到∠APO=30°，在Rt△AOP中，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半得到AP=2AO．

(1)結論：△ABO為等邊三角形，

理由：∵a2b2+ab=(a+b)(ab)+(ab)=(ab)(a+b+1)=0，

∴ab=0,得到a=b,即AO=AB

∵OB與x軸正半軸夾角為150°

∴∠AOB=150°90°=60°

∴△AOB為等邊三角形；

(2)證明：在AC上截取AM=EC，可得AM+EM=CE+EM，即AE=CM.

∵△AOB為等邊三角形，△BOC為等腰直角三角形

∴∠OBC=90°,∠ABO=60°

∵D為CO的中點

∴BD平分∠OBC,即∠CBD=∠OBD=45°

∴∠ABD=105°,∠ABC=150°

∴∠BAC=∠BCA=15°

∴∠AEB=60°

在△ABE和△CBM中

，

∴△ABE≌△CBM(SAS)

∴BM=BE

∴△BEM為等邊三角形

∴BE=EM

∴AE=AM+EM=CE+BE；

(3)結論：AP=2AO，

理由：∵△AOB與△BGE都為等邊三角形

∴BE=BG,AB=OB,∠EBG=∠OBA=60°

∴∠EBG+∠EBA=∠OBA+∠EBA

即∠ABG=∠OBE

在△ABG和△OBE中

，

∴△ABG≌△OBE(SAS)

∴∠BAG=∠BOE=60°

∴∠GAO=∠GAB+∠BAO=120°

∵∠GAO為△AOP的外角

且∠AOP=90°

∴∠APO=30°

在Rt△AOP中,∠APO=30°

∴AP=2AO.