Question

【題目】如圖，在正方形ABCD紙片中，若沿折痕EG對折，則頂點B落在AD邊上的點F處，頂點C落在點N處，點M是FN與DC交點，且AD＝8．

（1）當點F是AD的中點時，求△FDM的周長；

（2）當點F不與點A，D和AD的中點重合時，若AE+GD＝19，求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）16cm；（2）AF＝2或AF＝6

【解析】

（1）在△AEF中，設AE=x，則EF=8-x，AF=4，∠A=90°，從而可計算出AE，而可證△AEF～△DFM，則根據相似三角形的比例關系即可證

（2）設AF=x，EF=8-AE，過點G作GK⊥AB于K，連接BF交GE于P，在正方形ABCD中，可證△AFB≌△KEG（HL），從而得AF=EK，通過AK=AE+EK=AF+AE，列出關系式即可求

（1）如圖1，

在△AEF中，設AE＝x，則EF＝8﹣x，AF＝4，∠A＝90°

∴42+x2＝（8﹣x）2

∴x＝3

∴AE＝3，EF＝5，△AEF的周長為12

∵∠MFE＝90°

∴∠DFM+∠AFE＝90°

∵∠A＝∠D＝90°

∴∠DMF+∠DMF＝90°

∴∠AFE＝∠DMF

∴△AEF～△DFM

∴

∴△FMD的周長，C△FMD＝16cm

（2）如圖2，

設AF＝x，EF＝8﹣AE，x2+AE2＝（8﹣AE）2

∴AE＝4﹣x2

過點G作GK⊥AB于K，連接BF交GE于P

∵B，F關于GE對稱，

∴BF⊥EG，

∴∠FBE＝∠KGE

在正方形ABCD中，GK＝BC＝AB，∠A＝∠EKG＝90°

∴Rt△AFB≌Rt△KEG（HL）

∴AF＝EK

∵AF＝EK＝x，

∴AK＝AE+EK＝AF+AE＝4﹣x2+x

∵AE+DG＝，DG＝AK

∴4﹣x2+4﹣x2+x＝

即x2﹣8x+12＝0

解得x＝2或x＝6

∴AF＝2或AF＝6