Question

（如圖1），點P將線段AB分成一條較小線段AP和一條較大線段BP，如果，那么稱點P為線段AB的黃金分割點，設=k，則k就是黃金比，并且k≈0.618．
 
（1）以圖1中的AP為底，BP為腰得到等腰△APB（如圖2），等腰△APB即為黃金三角形，黃金三角形的定義為：滿足≈0.618的等腰三角形是黃金三角形；類似地，請你給出黃金矩形的定義：　　；
（2）如圖1，設AB=1，請你說明為什么k約為0.618；
（3）由線段的黃金分割點聯想到圖形的“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成面積為S₁和面積為S₂的兩部分（設S₁＜S₂），如果，那么稱直線l為該矩形的黃金分割線．（如圖3），點P是線段AB的黃金分割點，那么直線CP是△ABC的黃金分割線嗎？請說明理由；
（4）圖3中的△ABC的黃金分割線有幾條？

Answer 1

（1）見解析
（2）見解析
（3）見解析
（4）無數條

解：
（1）滿足≈0.618的矩形是黃金矩形；
（2）由=k得，BP=1×k=k，從而AP=1﹣k，
由得，BP²=AP×AB，
即k²=（1﹣k）×1，
解得k=，
∵k＞0，
∴k=≈0.618；
（3）因為點P是線段AB的黃金分割點，所以，
設△ABC的AB上的高為h，則
，
∴
∴直線CP是△ABC的黃金分割線．
（4）由（2）知，在BC邊上也存在這樣的黃金分割點Q，則AQ也是黃金分割線，設AQ與CP交于點W，則過點W的直線均是△ABC的黃金分割線，故黃金分割線有無數條．
（1）類比黃金三角形的定義進行定義；
（2）（3）根據線段黃金分割點的概念和三角形的面積公式進行分析；
（4）根據（2）中的結論，得到這樣的直線有無數條．