Question

【題目】如圖1，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B右側），與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點．

（1）如圖1，連接AC、BC，若點P是直線AC上方拋物線上一動點，過點P作PE//BC交于點E，作PQ//y軸交AC于點Q，當△PQE周長最大時，若點M在y軸上，點N在x軸上，求PM+MNAN的最小值；

（2）如圖2，點G為x軸正半軸上一點，且OG=OC，連接CG，過點作于點，將繞點順時針旋轉，記旋轉中的為△，在旋轉過程中，直線，分別與直線交于點，，△能否成為等腰三角形？若能請直接寫出所有滿足條件的的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）PM+MN﹣AN的最小值是；（2）滿足條件的旋轉角α為15°或37.5°或60°或127.5°．

【解析】

（1）構建二次函數，求出點P坐標，如圖2中，作sin∠OAF=, 作PN⊥AF，則有PM+MN≥PN，NH=AN，可知PM+MN-ANAN的最小值即為PH的長，根據同角的三角函數可得PH的長；
（2）分四種情形分別畫出圖形分別求解即可解決問題；

解：（1）如圖1，對于拋物線,令y=0，得到x=6或-2，
∴A（6，0），B（-2，0），

當x=0時，y=2,

∴C（0，2）,

Rt△AOC中，OC=2, OA=6,

∴AC=4,

∴∠ACO=60°，同理得∠BCO=30°

∴∠ACB=30°+60°=90°，
∵PE∥BC，
∴∠PEQ=90°，
∵PQ∥y軸，
∴∠ACO=∠PQC=60°，
∴當PQ最大時，△PQE周長最大，

設，則，

當x=3時，PQ最長，此時，△PQE周長最大，

如圖2，在y軸上取點，得，

，作PH⊥AF，交AF于H，交y軸于M，交x軸于N，AF交PQ于K，

則PM+MN-ANAN的最小值即為PH的長，

∵A（6，0），，

易得直線AF的解析式為，

當x=3時，

綜上，PM+MN-ANAN的最小值是.

（2）如圖3中，當MN=MG′時，設OA交G′N于L，

∵∠MG′N=75°，
∴∠MNG′=∠MG′N=75°，
∴∠NLA=75°-30°=45°，
∵∠OLG'=∠NLA=45°，∠OG′L=45°+75°=120°，
∴∠AOG′=180°-120°-45°=15°，
∴旋轉角為15°．
如圖4中，當G′M=G′N時，設OA交C′G′于L．

∵∠MG′N=75°，
∴∠G′MN=（180°-75°）=52.5°，
∴∠OLG′=∠ALM=180°-30°-52.5°=97.5°，
∴∠AOG′=180°-97.5°-45°=37.5°，
∴旋轉角為37.5°．
如圖5中，當NG′=NM時，設OA交G′C′于L．

∵∠NG′M=∠NMG′=75°，
∴∠MNG′=∠CAO=30°，
∴AL∥NG′，
∴∠OLG′=∠MG'N=75°，
∴∠AOG′=180°-75°-45°=60°，
∴旋轉角為60°．
如圖6中，當G′M=G′N時，

∵∠MG′N=180°-75°=105°，
∴∠NMG′=（180°-105°）=37.5°，
∴∠AOC′=360°-150°-135°-37.5°=37.5°，
∴∠AOG′=90°+37.5°=127.5°
∴旋轉角為127.5°．
綜上所述，滿足條件的旋轉角α為15°或37.5°或60°或127.5°．