Question

【題目】“魅力數學”社團活動時，張老師出示了如下問題：

如圖①，已知四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=120°，∠B與∠D互補，試探究線段AB，AD，AC之間的數量關系；

小敏反復探索，不得其解，張老師提示道：“數學中常通過把一個問題特殊化來找到解題思路”，于是，小敏想，若將四邊形ABCD特殊化，看如何解決問題：

（1）特殊情況入手

添加條件：“∠B=∠D”，如圖②易知在Rt△CDA中，∠DCA=30°，所以，寫出邊AD與AC之間的數量關系，同理可得AB與AC的數量關系，由此得AB，AD，AC之間的數量關系；

（2）解決原來問題

受到（1）的啟發，在原問題上，添加輔助線，過點C分別作AB，AD的垂線，垂足分別為E、F，如圖③，請寫出探究過程；

（3）解后反思

“一題多解”是數學解題的魅力之一，小敏在張老師的引導下，受探究結論的啟發，結合圖中的60°角，通過構造等邊三角形，利用三角形全等同樣解決了該問題，請在圖①中作出輔助線，并簡述你的探究過程．

Answer 1

【答案】（1）AD=AC，AD+AB=AC；（2）AB+AD=AC，探究過程見解析；（3）AC= AB+AD．探究過程見解析.

【解析】

（1）根據∠B+∠D=180°且∠B=∠D知∠B=∠D=90°，由AC平分∠DAB，∠DAB=120°知∠DAC=∠BAC=60°，利用直角三角形30°角所對直角邊等于斜邊的一半求解可得；

（2）先證△CDF≌△CBE得DF=BE，據此得AB+AD=AE+BE+AD=AE+DF+AD=AE+AF=AC；

（3）延長AB到點E，使得AE=AC，據此可得△ACE為等邊三角形，進一步知AC=EC，∠DAC=∠E=60°，證△ADC≌△EBC得AD=EB，進一步求解可得．

（1）∵∠B+∠D=180°，且∠B=∠D，

∴∠B=∠D=90°，

又∵AC平分∠DAB，∠DAB=120°，

∴∠DAC=∠BAC=60°，

∴∠ACD=∠ACB=30°，

則AD=AC，AB=AC，

∴AD+AB=AC+AC=AC，

（2）∵AC為∠DAB的平分線，CF⊥AD，CE⊥AB，

∴CF=CE．

∵∠B與∠ADC互補，∠ADC與∠CDF互補，

∴∠CDF=∠B．

又∵∠F=∠CEB=90°，

∴△CDF≌△CBE（AAS），

∴DF=BE．

∴AB+AD

=AE+BE+AD

=AE+DF+AD

=AE+AF

=AC，

即AB+AD=AC．

（3）如圖，延長AB到點E，使得AE=AC．

∵∠CAB=∠BAD=60°，

∴△ACE為等邊三角形．

∴AC=EC，∠DAC=∠E=60°．

又∵∠ABC與∠D互補，

∴∠D=∠CBE．

∴△ADC≌△EBC（AAS），

∴AD=EB．

∴AC=AE=AB+EB=AB+AD．