Question

【題目】如圖1，以斜邊AB為直徑作Rt△ABC的外接圓，圓心為O，P為弧BC的中點．

（1）只用直尺和筆作圖：在弧ACB另一側的圓上找一點G，連接PG交BC于點D，使D成為BC中點．并說明你的理由．

（2）在（1）小題圖形基礎上，在DG上取一點K，使DK＝DP，連接CK、BK，判斷四邊形PBKC的形狀，并證明你的結論．

（3）如題圖2，取CP的中點E，連接ED并延長ED交AB于點H，連接PH，求證：當∠CAB＝60°時，H為AB四等分點．

Answer 1

【答案】（1）畫圖見解析，理由見解析；（2）四邊形PBKC是菱形，理由見解析；（3）見解析

【解析】

（1）根據垂徑定理可得，連接PO并延長交圓于點G即為所求；

（2）先根據垂徑定理得，，再根據菱形的判定即可得；

（3）先根據中位線定理得出，再根據圓周角定理、平行線的判定得出，從而有，然后根據平行線的性質、等腰三角形的性質得出，從而有，最后根據中位線定理、直角三角形的性質得出，由此即可得證．

（1）如圖，連接PO并延長交圓于點G，則點G即為所求，理由如下：

∵P是弧BC的中點

∴D是BC中點；（垂徑定理)

（2）四邊形PBKC是菱形，證明如下：

由（1）知，，（垂徑定理）

∵

∴四邊形PBKC是菱形；（兩條對角線互相垂直且互相平分的四邊形是菱形）

（3）∵

∴，即

∵

∴

∴

∴

∵

∴

∴

∴

由（1）知，點D為BC中點

為的中位線

在中，

∴點H為OB中點，即為AB四等分點．