Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)N（2，-5），過(guò)點(diǎn)N作x軸的平行線交此拋物線左側(cè)于點(diǎn)M，MN=6．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P（x，y）為此拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接MP交此拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)D，當(dāng)△DMN為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)此拋物線與y軸交于點(diǎn)C，在此拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使∠QMN=∠CNM？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=-x2-2x+3．(2) 點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）或（3，-12）．(3) 存在點(diǎn)Q，使∠QMN=∠CNM，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2，3）或（6，-45）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)MN平行x軸，MN=6，點(diǎn)N坐標(biāo)為（2，-5），可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式即可；

（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸x=-1交MN于點(diǎn)G，此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸是MN的中垂線，根據(jù)△DMN為直角三角形，可得出D1及D2的坐標(biāo)，分別求出MD1及MD2的函數(shù)解析式，結(jié)合拋物線可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）分兩種情況進(jìn)行討論，①點(diǎn)Q在MN上方，②點(diǎn)Q在MN下方，然后根據(jù)兩角相等，利用三角函數(shù)建立方程，解出x的值后檢驗(yàn)即可得出答案．

試題解析：（1）由題意得，MN平行x軸，MN=6，點(diǎn)N坐標(biāo)為（2，-5），

故可得點(diǎn)M坐標(biāo)為（-4，-5），

∵y=ax2+bx+3過(guò)點(diǎn)M（-4，-5）、N（2，-5），

∴可得，

解得：，

故此拋物線的解析式為y=-x2-2x+3．

（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸x=-1交MN于點(diǎn)G，

若△DMN為直角三角形，則，

可得D1（-1，-2），D2（-1，-8），

從而可求得直線MD1解析式為；y=x-1，直線MD2解析式為：y=-x-9，

將P（x，-x2-2x+3）分別代入直線MD1，MD2的解析式，

得-x2-2x+3=x-1①，-x2-2x+3=-x-9②、

解①得 x1=1，x2=-4（舍），

即P1（1，0）；

解②得 x3=3，x4=-4（舍），

即P2（3，-12）；

故當(dāng)△DMN為直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）或（3，-12）．

（3）設(shè)存在點(diǎn)Q（x，-x2-2x+3），使得∠QMN=∠CNM，

①若點(diǎn)Q在MN上方，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥MN，交MN于點(diǎn)H，

則QH=-x2-2x+3+5，MH=（x+4）、

故，即-x2-2x+3+5=4（x+4）、

解得x1=-2，x2=-4（舍），

故可得點(diǎn)Q1（-2，3）；

②若點(diǎn)Q在MN下方，

同理可得Q2（6，-45）．

綜上可得存在點(diǎn)Q，使∠QMN=∠CNM，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2，3）或（6，-45）．