Question

【題目】如圖，△ABC為等邊三角形，點D為BC邊上一動點(不與點B，C重合)，∠DAE＝60°，過點B作BE∥AC交AE于點E.

(1)求證：△ADE是等邊三角形；

(2)當點D在何處時，AE⊥BE？指出點D的位置，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當點D為BC的中點時，AE⊥BE，理由見解析.

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質得到AB=AC，∠BAC=∠C=60°，由∠DAE=60°得到∠DAE=∠BAC，推出∠EAB=∠DAC，根據平行線的性質得到∠EBA=∠BAC，推出∠EBA=∠C，證得△AEB≌△ADC，根據全等三角形的性質得到AE=AD，即可得到結論；
（2）當D為AC中點時．根據等腰三角形的性質得到AD⊥BC，于是得到∠ADC=90°，根據全等三角形的性質得到∠AEB=∠ADC=90°，可得結論．

(1) 證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
∵∠DAE=60°
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD，
∴∠EAB=∠DAC，
∵BE∥AC，
∴∠EBA=∠BAC，
∴∠EBA=∠C，
在△AEB和△ADC中，

，

∴△AEB≌△ADC，
∴AE=AD，
∵∠DAE=60°，
∴△ADE是等邊三角形；

(2) 當D為AC中點時．
∵AB=AC，D為AC中點，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵△AEB≌△ADC，
∴∠AEB=∠ADC=90°，
∴AE⊥BE．