Question

如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=-

5

6

x²+

13

6

x+c與y軸交于點D，與x軸負半軸交于點B（-1，0），直線y=

1

2

x+b與拋物線交于A、B兩點．作△ABD的外接圓⊙M交x軸正半軸于點C，連結CD交AB于點E．
（1）求b、c的值；
（2）求：①點A的坐標；②∠AEC的正切值；
（3）將△BOD繞平面內一點旋轉90°，使得該三角形的對應頂點中的兩個點落在已知拋物線上（如圖2），請直接寫出旋轉中心的坐標．

Answer 1

分析：（1）將點B（-1，0）分別代入y=

1

2

x+b與y=-

5

6

x²+

13

6

x+c，即可求得b、c的值；
（2）①由于直線y=

1

2

x+b與拋物線交于A、B兩點，所以聯立直線y=

1

2

x+b與拋物線的解析式，即可求出點A的坐標；
②過點A作AH⊥y軸于H，先運用勾股定理的逆定理證明出△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°，再利用圓周角定理得出∠ACD=∠BCD=45°，∠BDC=∠BAC，得到△DBC∽△AEC，則∠DBC=∠AEC，然后在Rt△DBO中利用正切函數的定義即可求出tan∠AEC=tan∠DBC=3；
（3）分三種情況討論：①旋轉后OD在拋物線上；②旋轉后OB在拋物線上；③旋轉后BD在拋物線上．即可得到有四個不同的旋轉中心．

解答：解：（1）∵一次函數y=

1

2

x+b的圖象經過點B（-1，0），
∴0=

1

2

×（-1）+b，
解得b=

1

2

；
∵拋物線y=-

5

6

x²+

13

6

x+c經過點B（-1，0），
∴0=-

5

6

×（-1）²+

13

6

×（-1）+c，
解得c=3；

（2）①

1

2

x+

1

2

=-

5

6

x²+

13

6

x+3，
化簡得x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3．
當x=3時，y=2，
∴A（3，2）；
②如圖1，過點A作AH⊥y軸于H．
∵A（3，2），B（-1，0），D（0，3），
∴在△ABD中，AB²=（-1-3）²+（0-2）²=20，AD²=（0-3）²+（3-2）²=10，DB²=（-1-0）²+（0-3）²=10，
∴AB²=AD²+DB²，AD=DB，
∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°，
∵△ABD的外接圓⊙M交x軸正半軸于點C，
∴AB為⊙M的直徑，∠ACB=90°，∠ACD=∠BCD=45°，
又∵∠BDC=∠BAC，
∴△DBC∽△AEC，
∴∠DBC=∠AEC，
∴tan∠AEC=tan∠DBC=

OD

OB

=

3

1

=3；

（3）分為3種情況，①旋轉后OD在拋物線上；②旋轉后OB在拋物線上；③旋轉后BD在拋物線上．
1、旋轉后OD在拋物線上：
設為O′D′，則O′D′平行于x軸，拋物線y=-

5

6

x²+

13

6

x+3=-

5

6

（x-

13

10

）²+

529

120

，對稱軸x=

13

10

，
則x₁=

13

10

-

1

2

|OD|=

13

10

-

3

2

=-

1

5

，x₂=

13

10

+

3

2

=

14

5

，
則兩點為（-

1

5

，

38

15

）、（

14

5

，

38

15

）．
這時分別：①O′（-

1

5

，

38

15

）、D′（

14

5

，

38

15

）；②O′（

14

5

，

38

15

）、D′（-

1

5

，

38

15

），此時O′D′=3．
設旋轉中心P點的坐標為（x，y）．
①如果O′（-

1

5

，

38

15

）、D′（

14

5

，

38

15

），由題意，得

x+y= 38 15 y-x= 1 5

，解得

x= 7 6 y= 41 30

，
此時旋轉中心P₁為（

7

6

，

41

30

）；
②如果O′（

14

5

，

38

15

）、D′（-

1

5

，

38

15

），由題意，得

y-x= 38 15 x+ 1 5 =3- 38 15 -x

，解得

x= 2 15 y= 8 3

，
此時旋轉中心P₂為（

2

15

，

8

3

）；
2、旋轉后OB在拋物線上：
由于OB⊥y軸，則O′B′⊥x軸，此時顯然不成立；
3、旋轉后BD在拋物線上：
BD邊旋轉90°后所得線段B′D′與BD垂直，直線斜率k_BD=3，則k_B′D′=-

1

3

．
設旋轉后B′D′所在直線方程為：y=-

1

3

x+m，
與拋物線：y=-

5

6

x²+

13

6

x+3聯立，解方程組，得：

x= 15+ 585-120m 10 y= -15- 585-120m +30m 30

或

x= 15- 585-120m 10 y= -15+ 585-120m +30m 30

，此為兩個交點的坐標．
∵B′D′=BD=

10

，
∴（

15- 585-120m

10

-

15+ 585-120m

10

）²+（

-15+ 585-120m +30m

30

-

-15- 585-120m +30m

30

）²=10，
整理，得585-120m=225，
解得m=3，
∴兩點坐標：（3，2），（0，3）．
①如果B′（3，2），D′（0，3），則D′與D重合，所以此時旋轉中心為P₃（0，3）；
②如果D′（3，2），B′（0，3），則此時旋轉中心為P₄（1，1）．
綜上可知，旋轉中心為（0，3）、（1，1）、（

7

6

，

41

30

）、（

2

15

，

8

3

）．

點評：本題考查了一次函數與二次函數圖象上點的坐標特征，兩函數的交點坐標的求法，勾股定理的逆定理，銳角三角函數，旋轉的性質，綜合性較強，有一定難度．利用數形結合、分類討論及方程思想是解題的關鍵．